* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГЛАВА ХП ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ГЕОМЕТРИЯ * Л и н и я (кривая) может быть задана: 1) явным уравнением, 2) неявным уравнением, т. е. уравнением, определ я ющи м одн у дека рто ву коо рд и н ату как неявную функцию другой, и 3) двумя уравнениями, определяющими обе декартовы координаты точки как функции некоторого вспомогательного параметра. 1) П р о с т о й д у г о й л и н и и на плоскости называется геометриче­ ское место точек, координаты которых удовлетворяют при надлежащем выборе осей координат у р а в н е н и ю 3) Л и н и е й ь п а р а м е т р и ­ ч е с к о м п р е д с т а в л е н и и на­ зывается геометрическое место точек, координаты которых определяются урав­ нениями Jf-X(Z) 1 у=у(0. t я < г < & , t (4) если функции x(t) у (t) в {a Ь] одно­ значны, непрерывны, имеют непрерыв­ ные производные первого порядка и удо­ влетворяют у с л о в и ю р е г у л я р н о с т и + У* (0*0. (5) >-/(*). О) где f(x) на отрезке а < х < Ь одно­ значна, непрерывна и имеет непрерыв­ н у ю производную. 2) К р и в о й , з а д а н н о й не­ я в н ы м у р а в н е н и е м F (x t у ) = 0, (2) называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (2) и в окрестности каждой из этих точек из той области D пло­ скости ху, где F (x у) определена, геометрическое место точек образует простую д у г у . Эти точки называются t обыкновенными. Такая кривая, называемая регуляр­ ным куском кривой в области D суще­ ствует, если функция F(x у ) , ее частные производные первого порядка F F непрерывны и t t xt Эти у с л о в и я о п р е д е л я ю т регулярный кусок кривой. Т о ч к и кривой, в окрестности которой Л И Н И Я представляет простую д у г у , на­ зывается обыкновенной, в противном с л у ч а е — особой. В окрестности всякой внутренней точки интервала регуляр­ ности л и н и я представляет п р о с т у ю д у г у . Е с л и функции х ( 0 » У ( 0 — аналити­ ческие, могущие не удовлетворять у с л о ­ вию регулярности ( 5 ) , то л и н и я (4) состоит из регулярных кусков кри­ вой, разделенных точками, в которых х' (t) = 0 , у ' ( 0 = 0 . В окрестности такой точки [нарушения у с л о в и я ( 5 ) ] линия может представлять простую д у г у и может не являться простой д у г о й . В последнем с л у ч а е точка является особой точкой кривой (4). О направле­ y F I +I F * 0- (3) нии на кривой см. стр. 282. Л и н и я может задаваться уравнениями в п о л я р н ы х координатах: 1) г - / ( f ) ; (6) 2) F ( г , ч?) = 0; 3) т. е. частные производные одновременно в н у л ь не о б р а щ а ю т с я . Т о ч к а , координаты которой удовле­ творяют уравнению ( 2 ) , но не обыкно­ венная, называется особой. * См. литературу H J ,23], [19j. стр. 349: [22], 19], |2П, г-г(0. ?-*(*). В каждом из трех способов задания воз­ можен переход от одного способа к дру­ г о м у способу задания кривой. Параметр t может иногда иметь гео­ метрический или механический смысл. Составляя т а б л и ц у значений функций X (/), y(t) по формулам x = x ( t ) n n t