* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

218 имеет Уг = частное Tfi* ; у U 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ решение = ? e 2 , j r вида шения системы уравнений следует W U дифференциальных искать в виде = P a ; ; Уп = » Л P n (х)е' ; л у 2 (х)е^> е **Х где постоянная внению A X удовлетворяет ура­ n Уп = Рш (X) in Д(Х) = А П U + ßl2 0 Irt Л22 + X , . . . а?л = 0, fl ni л я ? ( .... а пп H- X CKUM которое а творяют 1 называется характеристинепостоянные T j . , f удовле­ линейной системе уравнений 1 n (а п H- X) 7 ! + A T 1 2 2 + . . . H- ^inTn д в 0. + («22 + M 72 + • • • + 2я7л — 0; (3) а П где P (JC), . . . . P (х) — многочлены степени, не б о л ь ш е й чем Ш / — 1. Д л я нахождения общего решения надо со­ ставить д л я каждого корня X выраже­ ния указанных видов с неопределен­ ными коэффициентами, подставить эти выражения в д а н н у ю систему дифферен­ циальных уравнений н решить относи­ т е л ь н о неопределенных коэффициентов п о л у ч е н н у ю л и н е й н у ю систему уравне­ ний. Ч и с л о неизвестных коэффициентов, остающихся п р о и з в о л ь н ы м и , равно крат­ ности корня. О б щ е е решение представится в виде i * n i 7 i И" лз72 + . . . H- (а п + *) 7л = °Если все л корней X .... Х характе­ ристического уравнения различны, то ранг матрицы b я У/ - PiJ (X) Л * + + P (X) sj P J (X) е ^ 2 + . . . H- Л х х . + m =n. s где / — 1.2, — . я; т + т> +... «и + К ..01л ОПЕРАЦИОННОЕ Функция ством x(p) t ИСЧИСЛЕНИЕ * равен­ Af(X) = <*лл + * определенная ™ e~ x(t) pc X(P) dt. для л ю б о г о корня X/ равен л — 1 [т. е. но крайней мере один определитель (п — 1)-го порядка матрицы M (K ) от­ личен от н у л я ] . Из системы (3) при 1 и н аз ы ва етс я л апл асовым л реобразовангием X=Xy определяются , . . . , т ' \ с точ­ ностью до произвольного множителя пропорциональности C : я i ( L - и з о б р а ж е п и е м ) функции х (t). Пред­ п о л а г а е т с я , что комплексная величина р имеет п о л о ж и т е л ь н у ю действительную часть: R e p = а > 0. Ф у н к ц и я х (р) определена д л я всех р , для которых 0 оо j' е и где A ^ , . . . , k$ — алгебраические до­ полнения л ю б о й строки определителя M*i)» Д которой они не все равны н у л ю . К о р н ю X соответствует частное решение системы (полагаем C = I ) л я i i °° jc ( О dt f существует, Примеры: 1) \ е~Р Ш ( - 0-р* и оо и -P — есть лапла- P сово преобразование х (Г) at 1 — лапласово р - а 2) \ О е- P^e at dt преоб­ При i = 1,2, . . . . л получаем л раз­ личных частных решений, о б р а з у ю щ и х фундаментальную систему решений. Если корень X/ характеристического уравнения имеет кратность m то ре­ it разование X = e at при условии Re p > Re а. Н и ж е приведена таблица л а п л а с о в ы х преобразований наиболее употребитель• С м . литературу на стр. 350: [73), |74|.