* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЫКНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 217 2. 2 Уравнение v (1 — х ) х n 2 OV rz 1 H- л у = дится к О заменой д у — J ^ r ' dx х = cos f пу = 2 —х dv -±- + dx приво­ Фунда¬ = у^. Общее решение неоднородной си- стемы dy 7 + Я/1У1 + ... + Я/л.Ул = V (X) виду + 0. dx i ментальная система решений: 2 (i = имеет вид 1, 2, л) yi = cos ( л a r c c o s JC); у = s i n ( л a r c c o s д:). При целом л функция (JC) я в л я е т с я м н о г о ч л е н о м с т е п е н и л , т а к к а к cos л ? в ы р а ж а е т с я в в и д е м н о г о ч л е н а о т cos <р; У1 У1 = У\ + « 1 . У2 = > ' 2 + 2 . 2 в этом случае — ^ y - i называется поли¬ 224). Уп => Уп п номом Чебышева л - й с т е п е н и ( с м . с т р . + Система линейных дифференциальных уравнений Решением линейной стемы уравнений Ц~ + ö/tfi + а>пУг + ... .... однородной си­ г д е 3/1 _у — н е к о т о р о е ч а с т н о е р е ­ шение неоднородной системы, a Zi г — общее решение соответствующей однородной системы l л dz + ay in n = 0 dx 7 + o-i\ \ z + • . • H- a z ln n = 0 (/= 1, 2, я) л). Решение неоднородной системы мо­ жет быть найдено методом вариации произвольных постоянных, если изве­ стна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы. С ч и т а я в р а в е н с т в а х (2) C неизвест­ н ы м и ф у н к ц и я м и JC, м ы и з уравнений i называется совокупность функций У\ ( * ) . . у (х), у д о в л е т в о р я ю щ и х т о ­ ждественно системе уравнений. Здесь Ik — ф у н к ц и и о т J : , н е п р е р ы в н ы е на н е к о т о р о м о т р е з к е S (х\ < ! хг). л ч а с т н ы х р е ш е н и й у^\ y^\... у^ л a % ( к = I 2, . . , л ) тальную систему делитель 1 образуют фундамен­ решений, если опре­ У] d x H- У\ dx dX dx •'л ,(2,,(2, У * dX + - + > ' 2 tfjt D = (п) (п) (2, >п у V (D rfc I + у ( 2 ) ^+ + .,<*) rfc A = i/„ у у v J n (i, на о т р е з к е S. О б щ е е р е ш е н и е уравнений имеет вид системы найдем + A\ t dC = ? i (JC); C i = J ?Дх)<*лг-Ь (i = 1, . . . л). f * A i — постоянные ^ =C V 1 1 > 2 1 1 »+ >+ С,УР» 2 2 + ... + С У1">; Л = C ^ 1 1 C j< > + . . . + C W; ny ( )) Линейная однородная система с постоянными коэффициентами r djc y d + fl Iiyi + •» И" \пУп а 0; где п р о и з в о л ь н ы е п о с т о я н н ы е Ci C можно определить так, что функции n ДУз H- а я У ! H- • . . H- ДглУл = °; V , 1 Уп 6 У Д У Т ПРИ X = XQ (X 1 < ж <дс ) 0 а удовлетворять У ] (J^o) - У ? > . ( начальным (•*<>) = У 2 ( } условиям Уп (X ) 0 <*Ул = H- flfl]>'i H- . . . H- а у ^0 ап п 14 1464