* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЫКНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Линейные дифференциальные уравнения Л и н е й н о е относительно неизвестной функции и ее производных дифференци­ альное уравнение имеет вид > + w + P i ( X ) У""" + х + ..- + = Z(X) K P « - i W y Pn ( ) у и называется неоднородным* если f(x) Ф 0. Ф у н к ц и и pj(x) 0 = 1.2, . ,л), / ( х ) — непрерывные. В с л у ч а е / ( х ) = 0 уравнение называется однородным или без правой части. Е с л и в однородном уравнении pj(x) те же самые, как и п неоднородном, то однородное уравне­ ние называется соответствующим дан­ ному неоднородному уравнению. Если у _v i---1 Ун — частные реше­ ния однородного у р а в н е н и я , то у = = Ciyi + . + Cf^yfi — также решение того же у р а в н е н и я , где Cj — произ­ вольные постоянные. Система функций УI = Vi W у = Уп (*) называется линейно независимой, если их линейная комбинация Ciy + ... + С у „ ни при каких значениях C i Сг,.-., C кроме C = Ci= = C = О, не обращается тождественно в н у л ь . Н е о б х о д и м ы м и достаточным условием линейной неза­ висимости Уъ-"%Уп является неравен­ ство ь 2 1 п 1 л f nt 1 n О б щ е е решение неоднородного урав­ нения есть сумма какого-нибудь част­ ного решения неоднородного уравне­ ния и общего решения соответствую­ щего однородного уравнения. Е с л и известно общее решение C j y + + C^y + + С„у соответствующего однородного уравнения, то решение не­ однородного уравнения можно найти ме­ тодом вариации произвольных, по­ стоянных. Решение имеет вид у = 1 2 п = С, (X) У 1 + C 2 (JC) у 2 + - +С„(х)у , п где неизвестные функции Cy (х) нахо­ дятся из системы л и н е й н ы х а л г е б р а и ­ ческих уравнений о т н о с и т е л ь н о произ водных dCj dx dC* dx я У\ + . . . + ^ = 0 ; ( я _ 2 ) dO_ dx ^ " ' ^ r y ( л _ 2 ) dC^ dx = У 1 n dx Решив систему и п о л у ч H B -г- • = dx dCj VJ (x). Cj = находим = Cj t t квадратурами: Уь У\ УГ" У? •• Уп Уп уУ I /ту (х) dx + Aj Aj — постоянные ин­ тегрирования. Л и н е й н о е однородное уравнение л - г о порядка с постоянными коэффициентами у (я) + fl|y («-i)+ + а п _ у + а kx t п у = 0 W называется о п р е д е л и т е л е м Вронского Для у у у „ . Е с л и функции у у ,.. у суть линейно независимые частные решения однородного уравнения, то их называют фундаментальной системой решений. * Общее решение однородного уравне­ ния имеет вид у = C i y + + С„у , где yi,..., у — фундаментальная си­ стема решений, Cj — п р о и з в о л ь н ы е постоянные. П о с л е д н и е можно опреде­ лить так, чтобы частное решение удо­ влетворяло начальным услрвиям y = y o i У' = У о . У ^ - ' ^ У ^ п р и х=х . и 2 ъ 2 п 1 л п 0 имеет решением функцию C корень характеристического k где k — уравнения + вд-О- n + a n-\ xk + + e ^ f t t t n Е с л и все корни k\ k% ... k различны, то e* , tf* »..., е^пх о б р а з у ю т фундамен­ т а л ь н у ю систему решений н у = C i e * ' * + + .. . + Cne H — общее решение задан­ ного (однородного) у р а в н е н и я ; Ci,.... C — произвольные постоянные. Е с л и корни k комплексные, то они попарно сопряженные (при веществен­ ны* a i , . . ., a ) например k = а + р/, t |JT lX k x n n t r Если известен частный интеграл у\(х) однородного уравнения, то подстанов­ кой г = — , а затем г* = и получим УI 9 /г_|_, = г о — р/, тогда е Г , е Г _ Г 1 заме­ няются х действительными t ajr функциями линейное уравнение порядка п — I. е^ cos %x C S l n p j c , и получается новая фундаментальная система.