* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

214 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Первое уравнение дает у = C а второе уравне­ ние дает у = С,**-**, причем при С> =* 0 полу­ чается первое решение. lt функциями у, Jf , у 1 2 у _ ! и аргу­ л = 4. Уравнение F (х, у , у ' , у * , . ,у< *) = 0 называется однородным порядка А л л t относительно у , у ' , У ' , . у * \ если имеет место тождество F ( х , /у, <у', ty" . . .) = = / F (JC, у , у ' , у * , . . . ) . Заменой порядок уравнения понижается f r f f y=e^ на 1. zdx Пример. Уравнение J r y y — I x y ' + у у ' =0—одно­ родное 2-го порядка относительно у, у ' , у " . Замена у = * J ментом X. Система дифференциальных уравнений порядка выше первого а н а л о г и ч н о при­ водится к нормальной форме введением новых неизвестных функций. Н о р м а л ь н а я система уравнений экви­ валентна, вообще г о в о р я , одному урав­ нению порядка л . Ч т о б ы его п о л у ч и т ь , надо 1-е уравнение дифференцировать по х: , у ' =: 2« 1 J . y f f = (z' + Z ) * 1 d*V\ dx* = df дх y t dft dy } { ] , " ^ r flfl ду п dy n J ^ ду dx dx дает z ' + — = Z — ураннение Бернулли, общий — интеграл которого z = - j - ( С , — In х ) Отсюда или ^ y dx* 1 d J^+ дх = d Af ду/ 1 л. ^ ' ± -h-t d ~ ду/ п в = С, — In J ' Система л дифференциальных уравне­ ний 1-го порядка с неизвестными функ­ циями y уг, . . - , у в нормальной форме Jt я (Jf- Уг Уп)надо dFo снова Полученное уравнение дифференцировать по х: d*y* d F , ,dF + 2 1х* -~дх~ ~djl (Х- У\ ° Уп) Уп / П ~ = и в /п (Х,у . } т. д.; виде последнее равенство получим ...Уп) систему решений определен­ имеет У/ = единственную 4>/(JC) (/ = 1 I 2i . . . ,л), 0 Если теперь из системы ную и непрерывную межутке \х — х I < при X — ,X заданные ния у/ (JC ) = уJ°*(/= 1 , ции // ( х , уд, ,у ) сительно x y i , . , у условию Липшица 0 0 л t л в некотором про­ А, принимающую начальные значе­ , л ) , если функ­ непрерывны отно­ и удовлетворяют Ac 1 л-1 2 л-1 определить л — 1 величин у , Ув» • • *Уп через вить х.Уи-jfcdyy dx r d~y ~\ n x 1 » подста­ d y, n n I // (x t у + Д у , , . . . ,у„ + Ду„) — г -//(Jf- >]...-..Ул)1<К(Иу,| + + + I АГл I ) dx == F то получим одно уравнение л - г о порядка: nt их в последнее уравнение для значений х , у/ и у/ + Ду/, лежа­ щих в некоторой области вблизи их начальных значений; К > О — некото­ рое постоянное (теорема К о ш и ) . Уравнение У (л— ной форме из у < л ) dy\ dx» И ' ^ 1 , dx A tл- 1 = л l t / ( х , у, у', у " , . . . , уравнений у[ = у>,. 1-го по­ у _! л с заменяющее систему. Если решение этого уравнения JZ (X) дифференцировать 1 приводится к системе в нормаль­ = и вычислить 2 dy } d*- y x x = f(x,~y;Уъ dx 9 " ' л dx ~ n -,то можно x рядка вида у ' = y уъ ---Уп-0 получить у , у , искомыми удовлетворяющие , у как функции * , с неге меч