* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

202 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Важнейшие к о н ф о р м н ы е отображения Функции Свойства отображения Линейная функция W Преобразование может быть разложено на три: г — поворот плоскости около нулевой точки на угол ip; S = p - t — подобное растяжение в р раз; W = 5 -f- b — параллельный сдвиг на вектор Ь. Фигуры плоскости Z преобразуются в себе подобные. i = аг -f- Ъ t = C^ (a = PfT') причем поворачиваются и сдвигаются. Точки z. н Z\ = 0 0 переходят сами в себя 1 — а Инверсия w — — Точка Z с радиусом-вектором преобразуется р н полярным углом ? в точку с радиусом-вектором — и углом —р. Преобразование состоит из инверсии относительно единич­ ного круга * и зеркального отражения относительно оси Ох, Круги переходят в круги (считая прямую частным случаем круга с радиусом оо). Точка О переходит воо, точки 1 и—1 остаются неподвижными. Конформность нарушается при z = ü Дробно-линейная функция аг +- Ь CZ H - d Преобразование может быть разложено на три: t = cz-\-d (линейная функция); S =-7t W • (инверсия); -^- + {аа — be) S (линейная функция). Дробно-линейная функция переводит круг в круг (счи­ тая прямую частным случаем круга); две точки, удовлетаоOZ + b „ ряющне уравнению z = h—r . не сдвигаются. Вся плоCZ -f- d с к ос ть отображается на самое себя. Отображение опреде­ ляется тремя парами соответствующих точек z , z%, Z H t v W i . W и может быть записано в виде x 3 1 t Z-Zi Z - Z t Z x - Z 9 W - W i W 3 — W t W г — a \—az =- t -It сопряжен­ {а — комплексное число, ное числу а) Функция переводит единичный круг (| z | < 1) в самого себя, если | а | < 1; при | а | > 1 функция переводит вну­ тренность круга I Z I < 1 во внешнюю часть круга | w | < 1. Точка Z = а переходит в точку w = 0. Направленна т в точке а переходит в направление действительной оси Инверсией относительно данного круга радиуса R называется преобразование точек ил оскости, при котором точка А, находящаяся на расстоянии d от центра круга, переходит в точку Л ' , Dt 4 - находящуюся на радиусе OA или его продолжении, но на расстоянии d = t (см. фигуру); при этом преобразовании точки, лежащие вне круга, переходят внутрь его и обратно. .