* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 201 найти его предел, причем часто оказы­ вается, что он равен н у л ю . Т а к , если функция g (г), определенная в точках некоторой п о л у о к р у ж н о с т и С радиуса R (т. е. I г I = R), стремится к н у л ю рав­ номерно о т н о с и т е л ь н о a r g г при R-+co, Заменяя е* = сов х + 1 s i n jr. получим х -[-оо l' .1 соз X dx х»+а* "+" -j-oo Г sin x r f x _ J х> +-в 1 — — itg~ g ä~~ * то для любого Г g (z) e dz iU положительного = 0 (лемма числа Жор- X lim /?-оо Отделяя в этом равенстве вещественные части, получим + O O дана). с Для вычисления интеграла Лапласа Пример. cosxdx X + а* 1 пе~ а ' а cos x d x +а» а так как подинтегральная функция — чегпая, то +_со Г соз X dx J x»+u< ~ выберем вспомогательную функцию f(z)= , а кр~ а ' а и будем ее интегрировать по периметру С полу­ круга, составленному из отрезка оси х ( с концами в точках — R и /?) и полуокружности С (с ра­ диусом R > а). Функция / ( Z ) будет аналитической во всей плоскости комплексного переменного за исключением точки ai, где она имеет простой полюс (так как при z = a/, / ( 2 ) = 0 0 ) . По теореме о вычета! имеем e dz j r " + в* ' J 2 + а* JT a J l2 1 откуда окончательно Н-оо cos xdx + т с 2а*" " J г' + a« с J КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ J + 1 -/? С - 2я/ res / (al). Так как / (Z) представляет частное двух функ­ ций, то вычет определим по формуле Teef(O) < (а) р Г (а) и получим res f(af) 2 a* 2ai * Следовательно, + /г Преобразование плоскости, осуще­ ствляемое аналитической функцией w = = / ( ^ ) . обладает свойством, что в окре­ стности точки г, д л я которой w' Ф ) бесконечно малые векторы всех напра­ в л е н и й : 1) увеличиваются ( и л и умень­ шаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное | w' | (с т о ч н о с т ь ю до бесконечно-малых высшего п о р я д к а ) , и 2 ) поворачиваются на один и тот ж е у г о л , равный arg W' Ф и г у р ы в беско­ нечно малой области преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется ь конформным; 1 1 оно является обобщением» преобразования подобия. Конформное Предположим, что R-* оо. отображение сохраняет постоянными Заметим, что | z + а" | > | г 1 — | а" |, откуда у г л ы между любыми двумя линиями , а так как для точек на отображаемой фигуры; в частности, I г » + а" I I г I» - d» координатные линии х = const, у = окружности | z | = /?, то функция g (z) г» + а» c o n s t преобразуются в два семейства 1 взаимно о р т о г о н а л ь н ы х кривых, и о б ­ на С удовлетворяет неравенству | ^ ( z ) | < ратно: для л ю б о г о конформного ото­ и ^ (z), при A - O o стремится к нулю независимо бражения существует некоторая ортого­ от значений a r g г (т. е. равномерно относи­ тельно arg; z). Следовательно, по теореме Жордана нальная сетка кривых (изотермическая сетка), которая преобразуется в декар­ тов у п р я м о у г о л ь н у ю сетку. Ilm 1 — — - шш 0; i 1 1 поэтому -И» J х*-г-а* - а 4 Пример. Преобразование w = 2z + iz не кон­ формно (см. фиг. 1). Преобразование w =* Z кон­ формно, координатные линии переходят в два семейства софокусных взаимно ортогональных парабол (фи!. 2); в точке Z = O конформность. нарушается \w' = U ) ; первый координатный ква­ дрант переходит в верхнюю полуплоскость. i