* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОСОБЫЕ Т О Ч К И О Д Н О З Н А Ч Н О Й Ф У Н К Ц И И 10» в) Вне круга | г \ > 2 функция / ( Z ) регулярна н разлагается в ряд: i - i - i - 4 M 2 димо и достаточно, чтобы л о р а н о в с к о е р а з л о ж е н и е / ( г ) в окрестности точки а не с о д е р ж а л о главной части. Устранимую особую точку можно « у с т р а н и т ь » , полагая / ( a ) = l l m / ( z ) = 2-а I 3 о*—1 - 1 г) B кольце между окружностями с центром О и радиусами 1 и 2 ( I < f 2 I < 2) /(z) регулярна и разлагается в ряд Лорана: /(2) = = C , после чего функция f(z) будет аналитической и в точке а. Д л я того чтобы точка а б ы л а полю­ сом функции / ( z ) , необходимо и до­ статочно, чтобы главная часть лорановского р а з л о ж е н и я / ( г ) в окрестно­ сти а содержала л и ш ь конечное число членов. Н а и б о л ь ш и й о т р и ц а т е л ь н ы й пок аэател ь и азы ваетс я порядком полюса. Полюс 1-го порядка называется про­ стым. Е с л и п — порядок полюса, то 0 '-4 '-т •)•)— в окрестности его /(z) ~ __ у, а » =-т('+4+^-т('+т+£+- где а что нули и полюсы аналитических функ­ ций весьма просто связаны д р у г с д р у ­ гом. Точка а тогда н т о л ь к о тогда является существенно особой д л я функции / ( z ) когда главная часть л о р а н о в с к о г о раз­ л о ж е н и я / ( г ) в окрестности точки а содержит бесконечно много членов. В л ю б о й окрестности существенно осо­ бой точки функция / ( г ) принимает все значения, за исключением, быть может, д в у х (причем с о считается т а к ж е зна­ чением ф у н к ц и и ) . Ф у н к ц и я / ( г ) имеет точку а суще­ ственно особой точкой одновременно t с функцией /(*) И т а к , изолированная особая точка бу­ дет у с т р а н и м о й , полюсом или существен­ но особой точкой, смотря по тому, будет л и в окрестности такой точки данная функция ограниченной, беско­ нечно б о л ь ш о й и л и неопределенной. Точка a называется полюсом, если f{z) является бесконечно б о л ь ш о й при при­ ближении Z к а, т. е. существует H m / ( z ) = с о (это означает, что | / ( г ) | 2>а неограниченно Точка бой точкой, возрастает если при не z - > а). осо­ суще¬ Примеры'. 1) Функция е имеет при 2 — 0 существенно особую точку. Разложение Лорана в окрестности этой точки 2 а называется существенно Hm/(г) ствует. Д л я того чтобы а была устранимой особой точкой функции / (z) необхо­ b 212* т- 3lZ* H-