* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ 147 следующие функ­ t - Решая вти уравнения относительно dz н йщ надо дни: (2у + 2) dx + tidy Зу + JT ш Можно также применять достаточные 0 Я условия экстремума ции:/' ( J C ) = / " ( J f o ) - - - -= Z ^ 0 V o ) - O {%x— Sz) dx - Sudy Эу + х откуда дг дх' 2 но /* * (JC ) Ф 0, причем п — четно. при этом C c X 0, то функция имеет при х = X максимум; 0 0 (л х то Если /(*) если У + 2 З у + Jf ' dy du dy Зу -1- J- ' Зц Зу + JT' du Ix-Sz. 3x""3y + x ' / * ( о) > ° » функция / ( J C ) имеет при X = X минимум. Е с л и ж е при вы­ полнении УСЛОВИЙ f (JC ) = f (JC ) = 0 0 0 D — ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ Функция /(Jt) ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ при неко­ _ . . . _ / 0 » - » > ( j t « ) _ о. п — нечетно, то при х = мума, а имеется точка стр. 2 6 4 ) . /<">(*,) * 0 х нет экстре­ перегиба (см. 0 з Пример. Ax S Y I - X t / (X) — Y (1 — Jr») ; 1 /Чх) — возрастает t тором значении X если знак разности (х + А) — / ( J C ) одинаков со знаком Л. Ф у н к ц и я / (х) убывает при некотором значении JC, е с л и знак разности f(x + + A) — f (х) противоположен з н а к у А. Т е промежутки, в которых f (х) > О, суть промежутки возрастания ф у н к ц и и , а те промежутки, в которых f ( J C ) < 0 , суть промежутки убывания функции. Говорят, что фун кция / (JC) Имеет максимум в точке х = х , если ее зна­ чение / ( J C ) в этой точке б о л ь ш е всех ее значений в б л и ж а й ш и х т о ч к а х , т. е. если 0 0 При X s O производная обращается в нуль, н при переходе через точку х = 0 знак производ­ ной меняется с плюса на минус, следовательно, функция при X = U имеет максимум. При х = * ± 1 производная имеет разрыв, и при переходе через точки X = ± 1 знак производной меняется с ми­ нуса на плюс, следовательно, в точках х — ± 1 функция имеет два минимума. Совокупность п значений п X =х\, 1 X 2 = /(X 0 + A ) - / ( J r 0 X O при всяких А, как п о л о ж и т е л ь н ы х , так и отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению. Если, же выполнено у с л о в и е /(X + 0 = х%..., х — х° , при которых диффе­ ренцируемая функция многих перемен­ ных f(xi, JCa,. . . tXn) может иметь экстремум (однако не о б я з а т е л ь н о его имеет), д о л ж н а быть решением системы уравнений К.о dxj ' I L дх 2 0. df_ дх„ — 0. A)-/(Jr ) > 0 0 выражающей необходимое условие су­ при всяких А, достаточно малых по абсолютному значению, то функция / ( J C ) имеет минимум в точке J C = J C . Максимум и минимум функции назы­ вают одним словом экстремум (что значит . к р а й н я я в е л и ч и н а * ) . Д л я нахождения тех значений х, при которых / (JC) имеет экстремум, следует: 1) найти / (JC); 2) определить те значения X=JC , при которых f (JC) обращается в н у л ь или не существует; 3) исследовать изменение знака f (х) при переходе через эти (критические) значения Jc ; е с л и знак /' (JC) меняется в точке JC с минуса на п л ю с , то имеем в точке JC минимум; е с л и знак / ' (JC) ме­ няется в этой точке с плюса на минус, то имеем максимум. 0 0 0 0 0 ществования экстремума. Д л я отыскания тех значений х и у , при которых / ( J C , у) действительно имеет экстремум, следует: 1) решить систему уравнений дх ду 2) полученные в cßf 2 решения дУ дх ду (x ду i9 у$ поди ставить вить - T - S . дх - д — 3 - Q dy* с° с т а - дискриминант d2/ дх* Д — дхду frf