* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Однородное линейное уравнение л - г о порядка с постоянными коэффициентами y > + α^ ~ ) (rl η χ + а У а ( / г ~" 2 ) + . . . +а _\у' п + ау п = 0, (1) где а , а х , а п — постоянные ( д е й с т в и т е л ь н ы е ) числа. Ч т о б ы найти общее решение такого дифференциального уравнения, надо найти корни с о о т в е т с т в у ю щ е г о е м у характери­ стического уравнения. 1. Е с л и корни k , k , .... k характеристического уравнения б у д у т действительны и различны, т о частными решениями диф­ ференциального уравнения ( 1 ) б у д у т : x t n у х = e i , k x у 2 = e* k x у п = е^п . х 2. Если среди д е й с т в и т е л ь н ы х корней характеристического уравнения о к а ж у т с я кратные корни, то каждому кратному кор­ ню k кратности m б у д у т соответствовать частные решения: у г = е^ , х у а = хе^ , х у т — х ~-1 т е^ . х 3. К а ж д о м у к о м п л е к с н о м у корню k = α + 3* характеристи­ ческого уравнения соответствует сопряжённый с ним д р у г о й комплексный корень k = α — β/. Каждой паре сопряжённых комплексных корней характери­ стического уравнения соответствуют два д е й с т в и т е л ь н ы х част­ ных решения вида: x t у г s e cos ax βχ, уа =- e * s i n ßx. a 1 4. Е с л и комплексный корень K = α + β/ имеет кратность m , то сопряжённый корень k = α — β/ б у д е т иметь т у ж е крат­ ность. Каждой паре взаимно сопряжённых комплексных корней α ± β/ кратности m с о о т в е т с т в у е т 2т частных решений: t е а х cos ßx, хе xe ах c o s βχ, s i n βχ, x ~ ~ * e * cos βχ; w a e * s i n ßx, a ax X m " 1 e a x s i n βχ. Общее ж е решение жается равенством У = Ciy где C l f i дифференциального уравнения (1) выра у (X) ( χ ) + C уа ( χ ) + . . . + с t п п 1 c, t с п — произвольные постоянные. 81