* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

606 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ фокальными радиусами пополам, а касательная к гиперболе д е ­ лит внутренний угол между теми же фокальными радиусами по­ полам. Эти две биссектрисы перпендикулярны, так как делят смежные углы пополам. Софокусные параболы с противоположно направленными осями пересекаются также ортогонально, в чем легко убедиться ана­ логичным рассуждением. Софокусные эллипсы и гиперболы образуют на плоскости ор­ тогональную сеть (рис, 77, а), так как через каждую точку плоскости* кроме точек общих осей, проходит один эллипс и Рис. 77. одна гипербола и в этой точке о б е кривые пересекаются орто­ гонально. Четырехугольники, которые образуются в результате пересечения двух эллипсов и двух гипербол, имеют прямые углы и могут быть рассмотрены как криволинейные прямоугольники. Аналогичным образом оба семейства софокусных парабол опреде­ ляют на плоскости ортогональную сеть (рис. 77, б). Докажем еще следующую замечательную теорему: расстояния между противолежащими вершинами криволинейного четы­ рехугольника ортогональной сети, образованной софокусными эллипсами и гипеоболами, равны, т. е. сеть софокусных эллипсов и гипербол раенодиагональна. Обозначим общие фокусы эллипсов 1 и / и гипербол g и g через F и F, а расстояние между фокусами — через т (рис. 78). Вершины криво­ линейного четырехугольника, образованного этими кривыми, обозначим че­ рез А. В, C,D. Докажем, 4TOJ4C=5D. Пусть AC—x BD = y. Очевидно, что Х 2 x 2 t AF+AF = 2a, BF + BF —2a CF + CF = 2с, DF + DF=2c, f t AF—AF = 2b\ BF—BF = 2d; CF—CF=2d\ DF—DF=2b. CF=c+d, DF=c+b t Отсюда находим, что AF=a + b, BF=a + d, AF = a—b; BF=a—d; CF=c—d; DF = c—b.