* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГИПЕРБОЛА 589 расстояния точек М х и М % от оси х равны 2 Г1-(^-р) Отсюда следует, что r\-rl т. е. r\-r\ Окончательно получаем: т\-т\ 2 = г1-(^ +р)*. 2 = d\-d\-2p(d = d\—d\- x + d ), 2 (<Й —d;>(e» —1)- = г\й\-й% 2 Но, по условию, г\ = e d\. Следовательно, r j = e dj, что и дока­ зывает теорему. Гипербола имеет центр симметрии, расстояние d которого от директрисы гиперболы определяется по формуле (1). Из того, что у гиперболы есть центр симметрии О (короче, ц е н т р ) и ось симметрии х, проходящая через точку О, следует, что прямая у, проходящая через точку О перпендикулярно к оси х, также является осью сим­ м метрии гиперболы. Эта ось назы­ вается ее мнимой осью. Итак, гипербола имеет две перпен­ У дикулярные оси симметрии, пе­ ресекающиеся в центре симметО Af, В А, рии гиперболы. Свойства симметрии гипербо'лы позволяют ограничиться изу­ чением поведения этой кривой только внутри одного из прямых Рис. 49. углов, определяемых осями сим­ метрии гиперболы. Кроме того, из свойств симметрии следует, что у гиперболы есть в т о р о й ф о к у с F и вторая директриса/. Проведем через точку А прямую t , параллельную оси у (рис. 49). На прямой t имеется лишь одна точка гиперболы — точка А , так как для всякой другой точки этой прямой зна­ чение d остается тем же самым^что и у точки А , а значение г — отличным от FA . Далее, между параллельными прямыми t и у точек гиперболы нет. В самом деле, если точка М лежит внутри полосы, образо­ ванной прямыми t и у, а М — проекция этой точки на ось х, то имеем A f F : A f , D > e , ибо при движении М от О к А отношение M F:M D возрастает от е до оо и загем убывает от оо до е, 0 / х x x х х X x x х J х 2 X X