* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

578 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 2 фокусов до прямой g будет отлично от Ь , а именно, для прямых, пересекающих эллипс, это произведение меньше Ь , а для прямых, не пересекающих эллипса,—больше, чем Ь . Значит, если фикси­ ровать две точки F и F и рассмотреть множество таких пря­ мых, что обе точки находятся по одну сторону от прямой и произведение расстояний обеих точек до прямой постоянно, то это множество прямых совпадает с множеством касательных к некоторому эллипсу. 2 2 Рис. 32. Рис. 33. Докажем теперь две интересные теоремы, принадлежащие фран­ цузскому математику XIX века П о н с е л е. а) Проведем два фокальных радиуса FA и FB и построим бис­ сектрису угла AFB (рис. 32). Мы докажем, что эта биссектриса проходит через точку пересечения Р касательных, проведенных к эллипсу в точках А и В. Соединим точки А и В со вторым фокусом F и рассмотрим (самопересекающийся) четырехугольник FAFB, в котором сумма одной пары смежных сторон равна сумме другой па¬ ры сторон:Л4 + Г^4 = FB-\-FB ( = 2а). Для такого четырехугольни­ ка существует окружность, касающаяся всех его сторон или их продолжений ). Центр этой окружности лежит на пересечении бис­ сектрис внешних углов при тех вершинах, в которых сходятся пары сторон с одинаковыми суммами, и биссектрис внутренних углов при двух других вершинах. Но касательные к эллипсу в точках А и В как раз и являются биссектрисами внешних углов четырехуголь­ ника и поэтому они пересекаются в центре Р окружности. Таким образом, прямые FP и FP являются биссектрисами соответству­ ющих углов между фокальными радиусами точек Л и ft Итак, биссектриса угла между двумя фокальными радиусами двух точек эллипса, соответствующими одному фокусу, прохо­ дит через точку пересечения касательных к эллипсу в этих точках. 1 ') См., например» Ж. А д а м а р, Элементарная геометрия, ч. 1, М., Уч­ педгиз, 1957, решение задачи 87.