* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
576
X
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
FP+ FP= FP+ PF ^ 2а, причем знак равенства имеет место только тогда, когда F*=M. Если отрезок NF пересекает t в точ ке P то по доказанному FP + FP ^*2a; с другой стороны, FN-\-NP > FP). Сложив два последних неравенства почленно,
lf 1 1 1
Рис. 26.
Рис. 27.
получим: FN-\- FN>2a, откуда следует, что точка ЛГ не может принадлежать эллипсу. Таким образом, все точки эллипса расположены по одну сторону от каждой его касательной, т. е. эллипс есть выпуклая кривая (ср. ниже, стр. 580). Хорду MN эллипса, проходящую через его фокус F, мы будем называть фокальной хордой. Построим касательные к эллипсу в концах М и N фокальной л о р ды, и пусть они пересекают ди ректрису в точках М и N (рис. 28). Согласно доказанному, прямые M F и N F перпендику лярны к MN, в силу чего точ ки M и N совпадают. Следо вательно, касательные к эллипсу, про веденные в концах фокальной хорды, пересекаются на дирек трисе (или параллельны ей). 2.4. Некоторые окружности, связанные с эллипсом. Теоремы Рис. 28. Понселе. Отразив один из фо кусов эллипса относительно все возможных его касательных, получим точки, расположенные от другого фокуса на постоянном расстоянии, равном 2а, т. е. на окружности радиуса 2а (рис. 29). Эта окружность называется направляющей окружностью эллипса. Очевидно, у эллипса имеются две направ ляющие окружности.
0 0 0 Q Q 0