* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

568 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.5. Аналитическое определение конических сечений. В кур­ сах аналитической геометрии доказывается, что среди линий, з а ­ писываемых в декартовых прямоугольных (или даже в общих аффин­ ных) координатах общим уравнением второй степени Ах + 2Вху + Су + 2Dx + 2 2 2Ey+F=0 (где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля) встречаются лишь следующие восемь типов линий: а) эллипс; б) гипербола; в) парабола ( н е в ы р о ж д е н н ы е кривые второго по­ рядка); г) пара пересекающихся прямых; д) пара параллельных пря­ мых; е) пара совпавших прямых (одна прямая); ж) одна точка ( в ы р о ж д е н н ы е линии второго порядка); з) «линия», совсем не содержащая точек. Обратно, любая линия каждого из указанных восьми типов ) записывается в декартовых прямоугольных координатах некоторым уравнением второго порядка. Поэтому (вырожденные и невырож­ денные) конические сечения можно определить также как линии 1 второго порядка. Таким образом, мы имеем целый ряд равноправных о п р е д е л е ­ ний конических сечений, каждое из которых можно положить в основу их теории; наряду с этим существуют и многие другие определения этих замечательных линий. Наиболее важными явля­ ются последнее (аналитическое) и первое (стереометрическое) опре­ деления. Важность первого определения связана с тем, что оно показывает проективную эквивалентность любого невырожден­ ного конического сечения обыкновенной окружности, т. е. оно дает описание конических сечений как линий, получающихся из окружности центральным проектированием в пространстве (или п р о е к т и в н ы м п р е о б р а з о в а н и е м плоскости ). Однако сте­ реометрический характер первого определения делает его доволь­ но неудобным для геометрического анализа свойств конических сечений; что же касается последнего (аналитического) определения, то оно явно относится к аналитической, а не к элементарной гео­ метрии. Поэтому мы ниже всюду будем понимать под коническим сечением множество таких точек М, что отношение расстояния MF от точки М д о фиксированной точки F (фокуса) к ее рас­ стоянию МР д о фиксированной прямой / (директрисы) имеет 2 ) В курсах аналитической геометрии обычно говорят о д е в я т и (а не о восьми) типах конических сечений, поскольку там различают «мнимый эллипс» и «пару мнимых параллельных прямых» (см. выше рис. 6, в и б), —геометрически эти «линии» одинаковы, поскольку обе не содержат ни одной точки, но аналитически они записываются разными уравнениями. *) Ср. кн. IV ЭЭМ, стр. 117. х