* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИТЕРАТУРА 555 (понятие «категории» в работах Л. А. Л ю с т е р н и к а и Л. Г. Ш н и р е л ь м а н а ) . В послевоенные годы возник новый важный отдел топологии— так называемая дифференциальная топология. Она развилась из теории, изучающей свойства д и ф ф е р е н ц и р у е м ы х отображе­ ний, т. е. отображений, которые в координатах описываются непрерывно дифференцируемыми функциями. Дифференциальная т о ­ пология изучает свойства фигур, сохраняющиеся при любых «диф­ феоморфизмах» (так называются взаимно однозначные преобразо­ вания, которые в координатах могут быть заданы непрерывно дифференцируемыми функциями для прямого и обратного отобра­ жения). Начало систематическому изучению этих свойств положили X. У и т н и и Л. С. П о н т р я г и н в начале сороковых годов. Подобно тому как в общей топологии дв^ гомеоморфные фигу­ ры равноценны, здесь равноценными считаются диффеоморфные фигуры, т . е . две такие фигуры, между точками которых можно установить диффеоморфизм. Две диффеоморфные фигуры, конечно, гомеоморфны, но, вообще говоря, не наоборот. Так, окружность, граничная линия туза червей и простая замкнутая ломаная гомео­ морфны, но не диффеоморфны. Особый интерес представляет изучение с этой новой точки зрения л-мерных г л а д к и х многообразий, служащих л мерным обобщением г л а д к и х поверхностей (и г л а д к и х линий), т. е. таких, у которых касательная плоскость (для линий — касатель­ ная) перемещается непрерывно с точкой касания. (Окружность — гладкая линия, но другие две линии последнего примера не гладки.) До недавнего времени математики в глубине души верили, что лю­ бые два гомеоморфных г л а д к и х л-мерных многообразия диффео­ морфны (и это действительно так для л = 1, 2). Этой наивной уверенности в 1956 г. неожиданно нанес удар молодой американ­ ский математик Дж. М и л н о р , показавший, что это ие так уже для л = 7,а именно, существует семимерное гладкое многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное сфере 5 . Затем была про­ делана большая работа по изучению диффеоморфизмов сфер раз­ личного числа измерений. Весьма важный вклад в изучение диф­ феоморфизмов уже более общих гладких многообразий внес моло­ дой московский математик С. П. Н о в и к о в (1964, 1965). 7 ЛИТЕРАТУРА [1] П . А л е к с а н д р о в и В. Е ф р е м о в и ч , Очерк основных понятий топологии, М.—Л., ОНТИ, 1936. Небольшая, популярно написанная книга, содержащая много фактов, дополняющих материал статьи. В книге доказаны многие теоремы, упо­ мянутые здесь без доказательства, более подробно рассказано о гомо* логиях.