* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

554 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Пусть Ф—какое-либо ограниченное замкнутое множество, ле­ жащее в /z-мерном евклидовом пространстве R . Непрерывное ото­ бражение / множества Ф на множество Ф ' , лежащее в том же пространстве R , назовем е-с д в и г о м, если для каждой точки х £ Ф расстояние р(дг, / ( # ) ) < е. Первая теорема П. С. Алексан­ дрова утверждает, что всякое г-мерное замкнутое ограниченное множество Ф с R при всяком е > 0 можно посредством ъ-сдвига отобразить на некоторый r-мерный полиэдр; в то же время (для данного замкнутого множества Ф) существует такое е > О, что множество Ф посредством г-сдвига нельзя отобразить на полиэдр размерности < г . Эта теорема, очевидно, сводит размер­ ность любого замкнутого ограниченного множества ) к размерно­ сти полиэдров. Вторая теорема П. С. Александрова связана с понятием так называемых с у щ е с т в е н н ы х о т о б р а ж е н и й . Пусть дано ото­ бражение / компакта Ф на куб Q какой-либо размерности г. Пусть Ф — прообраз границы куба Q при отображении / (т. е. множество всех тех точек х £ Ф, для которых точка f(x) лежит на границе куба). Назовем допустимым видоизменением отображения / в с я к о е отображение g компакта Ф в т о т ж е к у б Q, с о в п а д а ю щ е е с / в о в с е х т о ч к а х м н о ж е с т в а Ф (т. е. g(x)*=f(x), если х £ Ф ) . Отображение / называется существенным, если всякое его допустимое видоизменение является отображением компакта Ф на в е с ь к у б Q (легко видеть, что если / н е есть существенное отображение, то имеется такое допустимое видоизменение g ото­ бражения / , при котором весь образ компакта Ф содержится в границе куба Q). Вторая теорема П. С. Александрова утверждает, что всякий r-мерный компакт можно существенно отобразить на r-мерный куб, но нельзя существенно отобразить на куб раз­ мерности >r. Эти две теоремы послужили основой так называемой гомологи¬ ческой теории размерности, построенной П. С. А л е к с а н д р о в ы м (1931 — 1932 гг.) и позволившей решить многие, казавшиеся недо­ ступными, задачи, возникшие при самом возникновении урысоновской теории размерности. В частности, при помощи гомологической теории размерности Л. С. П о н т р я г и н построил замечательный пример двух двумерных компактов, топологическое произведение которых имеет размерность 3 (а не 4, как естественно было предполагать). Понятия и методы теории размерности (например, систематичес­ кое пользование методом покрытий) сыграли большую роль при выработке современных качественных методов вариационного исчис­ ления, функционального анализа и дифференциальной геометрии n n n г 0 0 0 ') В действительности же и размерность любого компакта.