* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 553 его (л—1)-мерными гранями; с другой стороны каждая вершина принадлежит хоть одному множеству, значит, / ^ л. Пусть, на­ пример, вершина а принадлежит множеству F , . . . , вершина а принадлежит множеству F . Тогда каждое из этих множеств не может пересекаться с противоположной гранью (т. е. множество F не пересекается с гранью А ) Если / = л, то мы уже находимся в условиях следствия 1. Остается рассмотреть случай / > л. Возьмем какое-нибудь из остальных множеств F , . . . , Ffi оно не пере­ секается хотя бы с одной гранью A и мы объединим его с соответ­ ствующим множеством F i^.n. Поступим так со всеми множе­ ствами F + ..., F Обозначим через Ф,- сумму множества F со всеми присоединенными к нему множествами. От такого объедине­ ния кратность покрытия или не изменилась, или понизилась. Каждое множество Ф,. не пересекается с гранью A . Множества Ф , Ф , , . . . . . , Ф образуют покрытие, удовлетворяющее условиям след­ ствия 1, значит, кратность этого покрытия л + 1 . Поэтому кратность покрытия F F F не менее чем л + 1 . 3.9. Теорема о минимальной кратности покрытия. При доста­ точно малом е всякое замкнутое е-покрытие n-мерного симплекса имеет кратность не менее чем л + 1 . Действительно, обозначим через г радиус вписанного в симплекс л-мерного шара. Если некоторое множество диаметра б, содержа­ щееся в симплексе А, пересекается с гранью то оно должно целиком помещаться в слое пространства толщины б, прилегающем к А . Значит, если множество пересекается со всеми гранями A то оно должно поместиться в общую часть всех таких слоев, но при толщине 6== г все эти слои имеют лишь одну общую точку — центр вписанного шара, а при б < г совсем не имеют общих точек. Следовательно, никакое множество диаметра < г не может пере­ секаться со всеми (л—1)-мерными гранями симплекса А, Но это означает, что при е < г к любому замкнутому е-покрытию сим­ плекса А можно применить следствие 2,—этим доказательство и завершается. Как было уже сказано, из этой теоремы вытекает, что размер^ ность л-мерного симплекса действительно равна л. 3.10/Заключение. Не только в создании теории размерности, но и в ее дальнейшем развитии основные заслуги принадлежат советским математикам. Дальнейшее развитие теории размерности идет в сторону геометризации теории и внесения в нее методов комбинаторной топологии, чем достигается и значительное расширение ее проб­ лематики. Приведем две теоремы П. С. А л е к с а н д р о в а , явившиеся отправными точками этого нового направления в теории размерности и вообще в теоретико-множественной топологии. 0 0 п n t г щ n+1 it it n V r t t 0 х п QJ lt t ( h