* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

552 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ индуктивно. Допустим его установленным для (л—1)-мерного сим­ плекса и докажем для л-мерного. Примем в Л какую-нибудь (л — 1)-мерную грань, например (a а , . . . , а ) за «основание», остальные грани назовем «боковыми» и отметим все (л—1)-мерные симплексы комплекса К, вершины которых соответствуют различным вершинам а a , а . Прежде всего такие отмеченные симплек­ сы существуют: на «основании» ( а a , . . . , а ) они являются главными симплексами, и потому, в силу допущения, там их будет нечетное число. Подсчитаем число v отмеченных граней в каждом из л-мерных симплексов комплекса К. В каждом главном симплексе отмечена точно одна грань ( v = l ) . Во всяком другом либо нет от­ меченных граней (v = 0), либо отмечены точно две грани (v = 2), в чем легко убедиться непосредственно. Отсюда ясно, что, если бы v главных симплексов было четное число, то сумма 2 AI распространен­ ная на все л-мерные симплексы комплекса К, была бы четным числом. Между тем мы сейчас увидим, что она нечетна; это противоречие и завершит доказательство. В сумме 2 * каждая отмеченная грань, лежащая внутри симплекса Л, будет- подсчитана дважды, ибо она принадлежит двум л-мерным симплексам; на «боковых» гранях"симплекса А вовсе нет отмеченных граней; на «основании», как мы видели, их имеется нечетное число и каждая из них в сумме 2 * будет подсчитана один раз, ибо она принадлежит только одному я-мерному симплексу комплекса А". Итак, сумма действительно нечетна. ~ С л е д с т в и я из л е м м ы Ш п е р н е р а . Заметим, что условие леммы удовлетворяется, если каждое из покрывающих симплекс А замкнутых множеств F не имеет общих точек с гранью A про­ тивоположной вершине а/. Действительно, если это так, то грань (a a . . . я ) , содержащаяся в каждой из граней A где / не входит в множество индексов s , s , . . . , s , не пересекается с соответствующими множествами F ; значит, эта грань должна быть целиком покрыта множествами F , F , F (иначе не весь симплекс был бы покрыт всей системой множеств F F . . . , F ). Условие леммы выполнено. Отсюда непосредственно вытекает С л е д с т в и е 1. Если л-мерный симплекс покрыт замкнутыми множествами F F , . . . , F причем каждое множество F не пере­ секается с А; ((л—1)-мерной гранью, противоположной вершине а ) , то все множества F имеют хотя бы одну общую точку. С л е д с т в и е 2. Если л-мерный симплекс А покрыт системой замкнутых множеств F F , . . . , F причем ни одно множество не пересекается со всеми (л — 1)-мерными гранями симплекса Л, то кратность покрытия ^ л + 1 . В самом деле, ни одно из множеств F не может содержать двух вершин симплекса Л, ибо иначе оно пересекалось бы со всеми lt 2 п $ и 2f п 1( f п k V V i h s S i 5 Л h 0 x k { s Si Sft 0l XJ n Q1 x nt t ( { 0l x tt {