* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

544 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ каждых двух множеств установлено, являются они бесконечно близкими (будем кратко писать АЬВ) или нет (А~6 В), причем, в частности, два множества, имеющие общие точки, считаются бесконечно близкими. Понятие пространства близости было введе­ но 6. А. Е ф р е м о в и ч е м . Каждое метрическое пространство автоматически является ин­ финитезимальным пространством, так как в нем определено поня­ тие бесконечной близости. Каждое инфинитезимальное пространство является автомати­ чески топологическим пространством, так как, в частности, оп­ ределена бесконечная близость между любыми множествами, с одной стороны, и множествами, составленными из одной точки, — с другой. Два инфинитеэимальных пространства (или два множества) R и R' называются эквиморфными, если между ними можно устано­ вить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение бесконечной близости между множествами, им принадлежащими (если множествам А и В соответствуют множества А' и В\ то А' и В* тогда и только тогда бесконечно близки, когда беско­ нечно близки А и В). Два эквиморфных пространства должны рассматриваться как эквивалентные с точки зрения инфинитезимальной геометрии. Всякое множество М инфинитеэимального пространства R может быть рассматриваемо как инфинитезимальное пространство, если бесконечную близость в М понимать в том же смысле, что и в Инфинитезимальные свойства фигуры —это те свойства, которые могут быть формулированы в терминах бесконечной близости. Ясно поэтому, что инфинитезимальные свойства эквиморфных множеств одинаковы. Понятно, что каждое топологическое свойство вместе с тем является инфинитезимальным, но не наоборот. Два экви­ морфных множества, конечно, гомеоморфны. Приведем несколько примеров. 1. Интервал (0,1) (описываемый неравенствами 0 < j e < l ) гомеоморфен, но не эквиморфен всей бесконечной прямой, так как при любом гомеоморфизме множество А точек с четными целочис­ ленными координатами и множество В точек с нечетными коорди­ натами на прямой перейдут в бесконечно близкие множества А' и В' на интервале (0,1). 2. Интервал (0,1) гомеоморфен, но не эквиморфен множеству М всех точек окружности, кроме какой-нибудь одной. (При любом гомеоморфизме не близкие множества (Vs. li> / Б - - - ) (VS» / 4 I /Б» интервала (0,1) перейдут в бесконечно близкие множе­ ства из М.) 3. Подобно предыдущим примерам, все три следующих мно­ жества гомеоморфны, но не эквиморфны: 1) множество всех точек l 1 и 3 4