* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
543
Если В —/(А), т. е. если для каждой точки у из В найдется по крайней мере одна точка х из А, для которой f(x)=y, то го ворят, что / отображает множество А на В. Таким образом, отоб ражение множества А на В есть частный случай отображения множества А в В. Совокупность всех точек из А, отображающихся в данную точ ку y называется прообразом точки у и обозначается ч е р е з / " {у). Если / ( у ) состоит из одной точки для каждой точки у мно жества В, то соответствие / взаимно однозначно. В этом случае мы имеем, кроме прямого отображения / множества А на В, еще обратное отображение / множества В на А. Пусть А и В— множества, лежащие в топологических про странствах. Отображение / множества А в множество В называется непрерывным в точке а, если образ всякого подмножества, беско нечно близкого к я, бесконечно близок к /(а) (т. е. из а 6 М следует /(а) 6 f(M)). Если отображение / непрерывно в каждой точке множества А, то оно называется непрерывным отображением множества А. Нетрудно установить эквивалентность этого определения непре рывности с определением Коши: отображение f непрерывно в точ ке а, если для каждой окрестности Уточки b=f(a) существу ет окрестность U точки а, образ /(V) которой принадлежит множеству V. Понятие непрерывности отображении является одним из самых основных топологических понятий ) . Понятие равномерной непре рывности (см. п. 3.6), однако, не является топологическим поня тием. Чтобы описать это понятие в терминах качественной геоме трии, нужно сделать всего один шаг от топологии в сторону метрической геометрии. 3.5. Инфинитеэимальные свойства. В топологическом прост ранстве установлено отношение бесконечной близости между точкой и множеством, но не определено понятие бесконечной близости между двумя множествами, понятие, которое имеет простой смысл в метрической геометрии. Заимствуя из метрической геометрии только одно это понятие и рассматривая бесконечную близость точки и множества его частным случаем, мы приходим к новом; виду пространств. Инфинитезимальным пространством, или пространство л близости? называется совокупность точек, в которой введен* отношение бесконечной близости между двумя множествами: дл!
1 t - 1 _ 1 1
) Взаимно однозначное отображение пространства X на пространство У называется топологическим, если и само это отображение, и обратное отоб ражение непрерывны. Два топологических пространства называются гомео морфны ми, если одно из них можно топологически отобразить на другое.
1
