* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

542 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ должны находиться точки множества В, значит, Р принадлежит множеству В, и пересечение Л Л Вне пусто. Если же Р принадлежит множеству В, то она не может совпадать с точкой а (которая принадлежит множеству Л); тогда все точки, лежащие между а и р , принадлежат множеству Л, и, следовательно, Р принадлежит мно­ жеству Л, т. е. пересечение Л Л В не пусто. Полученное противо­ речие доказывает наше утверждение. Нетрудно понять, что если всякие две точки множества М могут быть связаны простой дугой, то множество М связно. Обратное утверждение неверно (см. ниже, пример). Если множество М несвязно, то оно разлагается в конечную или бесконечную сумму связных частей, каждая из которых обла­ дает тем свойством, что она не содержится ни в какой отличной от нее связной части множества М. Каждая из связных частей, обла­ дающих этим максимальным свойством, называется компонентой множества М. Разложение множества М на компоненты единственно. П р и м е р . Множество Ж, составленное из всех точек отрезков единичной длины, восставленных на плоскости перпендикулярно к оси х в точках х = 1 , / , / , / , . . . , а также в точке х = О, имеет бесчисленное множество компонент—каждый из отрезков образует компоненту. Присоединяя к множеству М отрезки, соединяющие верхние точки первого и второго отрезков, третьего и четвертого и т. д., а также нижние точки второго и третьего отрезков, четвертого и пятого и т. д., полу­ чим уже связное множество (рис. 32); однако в нем нельзя соединить простой дугой, на­ пример, точки с координатами (1,0) и (0,1). При помощи понятия связности можно совсем просто доказать, что прямолинейный отрезок не гомеоморфен квадрату. Дей­ ствительно, удаляя из отрезка внутреннюю точку, мы получаем несвязное множество (именно, состоящее из двух компонент); уда­ Рис. 32. ляя же произвольную точку квадрата, полу­ чаем связное множество, так как после уда­ ления одной точки из квадрата любые две точки остатка все еще можно соединить простой дугой (например, ломаной из двух звеньев), лежащей внутри остатка. Значит, квадрат и отрезок не гомеоморфны. 3.4 Непрерывные отображения. Если каждой точке х множе­ ства Л поставлена в соответствие определенная точка y—f(x) множества В, то говорят, что задано отображение / множества Л в множество В. Точка y=f(x) называется образом точки JC, а все такие точки y=f(x) при всевозможных х из Л составляют образ множества Л при отображении / ; он обозначается через / ( Л ) . г 1 х 2 3 4