* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 539 сторон, диаметр квадрата равен его диагонали, диаметр круга ра вен его диаметру в обычном смысле. Расстоянием р(А, В) между двумя множествами А и В метри­ ческого пространства называют минимум (точную нижнюю грань) расстояния р(х,у), где х принадлежит А(х £ А), у принадлежит В[у £ В). В Частности, расстоянием р ( а , В) точки а от множества В называется точная нижняя грань всех расстояний р (а, у) при всех возможных у из В, Согласно этому определению, расстояние от точки до прямой или до плоскости) есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую (на плоскость). Расстояние между двумя непере­ секающимися шарами радиусов г и г равно d — г — г , где d — рас­ стояние между их центрами. Расстояние между пересекающимися множествами всегда равно нулю, так как минимум расстояния р (х у) достигается в каждой общей точке z: Р (*, z) = 0. г 2 х 2 у Однако расстояние между двумя множествами может равнять­ ся нулю и без того, чтобы они имели общие точки. Например, если А и В—множества внутренних точек двух внешне касающихся шаров (или кругов), то р(А, В) = 0. Точно так же равно нулю рас­ стояние от любой точки окружности до множества точек, лежащих внутри этой окружности.-Еще пример: расстояние от кривой до ее асимптоты равно нулю. Расстояние не является топологическим отношением, но обраще­ ние в нуль расстояния является топологическим фактом. Точка а называется бесконечно близкой к множеству Б (будем кратко писать а 6 В), если расстояние между ней и множеством равно нулю. Два множества А к В называются бесконечно близкими (кратко будем писать А б В), если расстояние между ними равно нулю. Укажем в заключение понятие компактного множества, кото­ рое понадобится нам в дальнейшем. Некоторое множество А мет­ рического пространства R называется компактным, если, какова бы ни была последовательность х х ,- • - , J C . . .точек множества А, найдется такая ее подпоследовательность x , x ,. .., x , и такая точка а £ А, что эта подпоследовательность сходится к точке д. В качестве примера укажем, что множество .4, распо­ ложенное в евклидовом пространстве (любого числа измерений), в том и только в том случае компактно, если оно ограничено и замкнуто. 3.2. Топологическое пространство. Топологическим простран­ ством R называется совокупность элементов («точек»), в которой введено отношение бесконечной близости между точками, с одной стороны, и множеством точек—с другой: для каждого множества А и 2 N L kt kzl kn