* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

530 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Простым примером трехмерного замкнутого неориентируемого многообразия может служить топологическое произведение F ^ - S проективной плоскости Р на окружность S . Пусть читатель само­ стоятельно докажет, что, умножив любую замкнутую неориентиру«мую поверхность на окружность, мы получим замкнутое неориентируемое многообразие. 2.11. Теорема Хегора. Существует единообразный метод, при помощи которого может быть построено любое замкнутое трехмерное многообразие. Этот метод принадлежит X е г о р у. Назовем телом рода р многообразие с краем, которое можно получить из шара, отождествляя р попарно не пересекающихся 2- клеток его северной полусферы с симметричными им относительно экваториальной плоскости элементами южной полусферы (каждая точка элемента отождествляется с ей симметричной). Топологически тот же результат получается, если взять на поверхности шара 2р произвольных непересекающихся 2-клеток и произвести попар­ ное их отождествление; важно только, чтобы элементы а и 'а отождествлялись при помощи топологического соответствия, кото­ рое ориентацию клетки а переводит в противоположную ориента­ цию клетки 'а . Если последнее условие нарушено хотя бы для одной пары д , ' д , то получившееся после отождествления многообразие с краем будет неориентируемым (см. пример в п. 2.10). Нетрудно показать, что, если нам дано несколько 3-клеток и на каждой из них отмечено несколько 2-граней, попарно непере­ секающихся, то, отождествляя попарно эти 2-грани так, чтобы получилось одно ориентируемое многообразие (с краем), мы полу­ чим тело некоторого рода р. В самом деле, отождествляя две грани, принадлежащие разным 3-клеткам, мы получим из этих двух 3- клеток новый многогранник, гомеоморфный шару, поэтому его можно снова считать 3-клеткой. Продолжая таким образом, мы получим из всех данных 3-клеток одну «большую» 3-клетку, неко­ торые грани которой еще должны быть отождествлены попарно. Таким образом, построение свелось к предыдущему. Тело рода р' можно реализовать в трехмерном пространстве в виде гири с р ручками. Понятно, что поверхностью тела рода р служит замкнутая поверхность рода р . Нетрудно убедиться, что эйлерова характеристика тела рода р равна 1—р; действительно, при появлении каждой ручки эйлерова характеристика тела умень­ шается точно на единицу (число граней уменьшается на 1, число ребер и вершин уменьшается одинаково), а эйлерова характерис­ тика шара равна 1. Т е о р е м а Х е г о р а . Каждое замкнутое ориентируемое трех¬ мерное многообразие М может быть разрезано замкнутой поверхностью некоторого рода р на два тела рода р. Значит, 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3