* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

526 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ 0 1 ПОНЯТИЯ содержат середину с ребра а и не примыкают к половинкам этого ребра (все такие треугольники образуют как бы колесо, надетое на данное ребро как на ось, ибо каждое ребро имеет в многооб­ разии циклическую звезду; спицами колеса являются ребра раз­ биения / ( ' , ведущие из с в центры смежных к ребру а граней и 3-клеток). (Таких новых 2-клеток будет столько, сколько имеет­ ся ребер в комплексе К т. е. а .) Наконец, взяв произвольную вершину а из / ( , объединим в одну новую 3-клетку все симплексы из имеющие а° своей вершиной; все такие симплексы запол­ няют часть многообразия Ж, гомеоморфную шару. Таким образом, каждая вершина а из К порождает новую 3-клетку (всего таких клеток будет OQ). Новые вершины, ребра, 2-клетки и 3-клетки об­ разуют трехмерный комплекс у — дуальное к К клеточное разбие­ ние многообразия Ж. Важно заметить, что комплекс К' можно рас­ сматривать как барицентрическое разбиение комплекса ) / ; поэтому, построив дуальное к )/ разбиение, мы получим комплекс К: раз­ биения К и yj взаимно дуальны. Мы доказали выше, что эйлерова характеристика конечного комплекса К равна эйлеровой характеристике его барицентричес­ кого разбиения, а так как К и имеют общее барицентрическое разбиение К' = У{\ то % (K) = X(>f)- Но из способа построения дуального разбиения мы заметили, что <*о (Ю « «э <*). « 1 0 / ) = «2 ( * ) , Щ ( у ) = а (К), Од ( у ) = сс (К); значит, 0 1 У г 0 0 г 0 Х(Ю = Х0/) = «1 — и потому + «о = — К — a i + oc — « з ) = — %{К) 2 Таким образом, мы приходим к важной теореме: Эйлерова характеристика любого замкнутого многообразия равна 0 . трехмерного Так же можно было бы доказать, что эйлерова характеристика замкну­ того многообразия любого н е ч е т н о г о числа измерений равна нулю. З а д а ч а . Проверить, что дуачьное разбиение к разбиению пространства на кубы тремя сериями плоскостей, параллельных координатным (обычный кубильяж), будет представлять собой такой же кубильяж, но смещенный на половину ребра куба вдоль всех осей координат. 2.8. Многообразие с краем. Трехмерным многообразием с краем называется связное множество Ж , каждая точка х которого имеет окрестность, допускающую либо топологическое отображе­ ние на внутренность трехмерного шара, либо такое топологическое отображение на половину шара, что х переходит в центр шара; кроме того, предполагается, что Ж допускает разбиение на к о н е ч н о е число клеток, образующих в совокупности комплекс. 3 3