* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГООБРАЗИЯ 623 Диаметр, перпендикулярный к плоскости экватора, назовем осью. Каждую точку х северной полусферы отождествим с той точкой х' южной полусферы, которая может быть получена из х поворотом вокруг оси на угол у2п (где ^- — правильная несократимая дробь) и последующим отражением от плоскости экватора. Легко прове­ рить, что в результате отождествления получится замкнутое многообразие; оно называется линзовым пространством типа (qfp). Прн q/p = 0 получим сферу 5 , при q/p = / — проективное прост­ ранство Р . 4. Пусть дан куб. Будем считать, что любая точка х любой из его граней тождественна с ее ортогональной проекцией х' на про­ тивоположную грань (рис. 28). В силу этого условия, каждая грань склеивается с противоположной гранью. Чтобы убедиться, что при таком склеивании возникает замкнутое много­ образие (обозначим его через Г ), придется рассмотреть окрестности точек четырех видов: 1) внутренняя точка куба имеет окрестность в виде маленького шара; 2) точка, возникшая от склеивания двух внутренних точек проти­ воположных граней, имеет окрестность, скле­ енную из двух маленьких полушаров; 3) точка, возникшая ив соответственных внутренних то­ Рис. 28. чек четырех параллельных ребер куба, имеет окрестность, состоящую из четырех долек, ко­ торые, склеиваясь, образуют шар*; наконец, 4) единственная точка, которая возникает от соединения в одну всех восьми вершин куба, имеет окрестность, состоящую из восьми октантов, склеивающих­ ся друг с другом так, как восемь октантов, на которые разбива­ ется шар тремя взаимно перпендикулярными плоскостями. Во всех случаях получаются окрестности, гомеоморфные шару. Через каждую точку куба проходят три прямолинейных отрез­ ка, соответственно параллельных трем ребрам куба; при указан­ ном склеивании каждый из них превращается в замкнутую линию, и мы вправе считать ее окружностью. Каждая точка куба может быть задана тремя координатами, иначе говоря, тремя точками на трех отрезках (проекции данной точки на три взаимно перпен­ дикулярных ребра куба). Каждая точка нашего замкнутого много­ образия Т может быть определена при помощи трех «проекций» на три окружности, в которые обратились при склеивании три перпендикулярных ребра куба. Описанный здесь способ получе­ ния многообразия Т из куба вполне аналогичен способу получения тора Т из квадрата отождествлением его противоположных сторон. Последний пример подводит нас к весьма важному вопросу о то¬ пологическом произведении множеств. Пусть X и К—два множества Э 1 2 3 3 3 3 2