* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

520 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ращаем в ребро ОЬ°, каждое ребро Ь' — в треугольник Ob', каж­ дый треугольник Ь — в тетраэдр Ob . Одним словом, каждый симплекс из В порождает новый симплекс, на единицу большего числа измерений. Легко видеть, что все симплексы из В вместе со всеми новыми симплексами и с вершиной О образуют комплекс. Последний и называется барицентрическим разбиением клетки А ; он обозначается через ( Л ) ' . Отображение ф переносит это разбие­ ние в клетку а . Таким образом, барицентрическим разбиением (а )' клетки а является комплекс, составленный из образов при отображении ф всех симплексов комплекса (А )'. Нетрудно подсчитать эйлерову характеристику а — с^ + а ^ — а комплекса (а )' или, что все равно, комплекса (А )'; она равна + 1 . Действительно, комплекс (А )' состоит из симплексов комплекса В, из новых симплексов, возникших при проектировании, и из верши­ ны О. При подсчете эйлеровой характеристики каждый новый симплекс будет давать единицу противоположного знака по срав­ нению с тем симплексом комплекса Б, из которого он возник, так как размерности их отличаются на единицу; итак, получится столько положительных единиц, сколько отрицательных, да еще одна, возникшая от вершины О. Барицентрическое разбиение К' комплекса К, по определению, мы получим, если произведем барицентрическое разбиение всех его клеток всех размерностей от 1 до 3. Эйлерова характеристика конечного комплекса прн барицентри­ ческом разбиении не изменяется: %(K) = %(fC). Это легко прове­ рить, производя сначала барицентрическое разбиение всех ребер поодиночке, затем всех 2-клеток поодиночке и т. д. При каждой из этих операций эйлерова характеристика не изменяется, так как одна клетка имеет эйлерову характеристику равной + 1 , заменя­ ющее ее барицентрическое разделение —тоже. Значит, она не из­ менится и после окончания последней операции, т. е. когда будет произведено барицентрическое разбиение всего комплекса. 2.5. Трехмерное многообразие. Трехмерным многообразием называется такое связное множество Ж , что у каждой его точки существует окрестность, гомеоморфная внутренности шара в трех­ мерном евклидовом пространстве. Это последнее обстоятельство и имеют в виду, когда говорят, что многообразие л о к а л ь н о имеет ту же топологическую структуру, что и евклидово прост­ ранство. Однако это слишком общее понятие обычно сужают дополни­ тельным требованием возможности разбить М на конечное или счетное число клеток, образующих в совокупности комплекс. При этом, если комплекс конечный, то многообразие называют замкну­ тым, в противном случае — открытым. Подобным же образом определяется n-мерное многообразие. г 2 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 9 3 3