* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГООБРАЗИЯ 517 (точнее, всякое одномерное многообразие гомеоморфно или прямой, или окружности). Двумерные многообразия иначе называются ловерхностями; ими мы занимались в § 1. Здесь мы познакомимся с трехмерными многообразиями. Начало систематическому изучению топологии многообразий положил А. П у а н к а р е в известной работе Analysis situs (1895 г.) и в нескольких прибавлениях к ней. Следует отметить, что Пуан­ каре был приведен к своим топологическим исследованиям проб­ лемами качественной теории дифференциальных уравнений. Эта теория в свою очередь возникла из потребности получить наиболее существенные сведения качественного характера при решении тех или иных механических задач (у Пуанкаре —в основном задач небес­ ной механики). Эта же связь с математическим анализом продолжала быть движущей силой в последующих работах Л. Б р а у э р а по топологии многообразий и векторных полей и, в особенности, в относящихся к этой области топологии работах советских матема­ тиков, среди которых наиболее выдающимися являются работы Л. С. П о н т р я г и н а . Комбинаторные методы, лежащие в основе топологии многообразий, были перенесены П. С. А л е к с а н д р о ­ в ы м и в область изучения более общих геометрических фигур — компактов и даже еще более широких классов объектов теоретикомножественной топологии. А. Н. К о л м о г о р о в существенно пополнил алгебраический аппарат комбинаторной топологии введе­ нием так называемых коциклов и когомологий, находящих в на­ стоящее время широкие применения почти во всех частях тополо­ гии, в особенности же в теории многообразий и в теории вектор­ ных полей на многообразиях. 2.2. Трехмерная клетка. Будем называть элементом любое мно­ жество, гомеоморфное некоторому шару А. Поверхностью элемента будем считать ту его часть, в которую перейдет поверхность шара при некотором определенном топологическом отображении <р шара на этот элемент. Остальные точки элемента считаем его внутренними точками, их совокупность назовем открытым эле­ ментом. Назовем, далее, трехмерной клеткой (3-клеткой) трехмерный элемент, поверхность которого разбита на клетки, образующие двумерный комплекс. Вершины, ребра и грани этого комплекса считаются вершинами, ребрами и гранями клетки, причем они тоже рассматриваются как клетки (0-клетки, 1-клетки, 2-клетки), п о д ч и н е н н ы е данной 3-клетке. Кроме того, говорят, что каж­ дая клетка подчинена сама себе. Примером клетки может служить любой выпуклый многогранник. Простейшая из 3-клеток — это тетраэдр (или трехмерный симплекс, см. стр. 380 этой книги ЭЭМ); ему подчинены 4 треугольника, 6 ребер и 4 вершины.