* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

516 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Итак, мы получили простейшие нормальные формы замкнутых поверхностей: для ориентируемой поверхности —сфера с p = f простыми ручками, для иеориентируемой — сфера с q поверхно­ стями Мёбиуса. Это значит, что каждая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из этих «образцовых» поверхностей — «нормаль­ ных форм». Всякая ориентируемая замкнутая поверхность, имеющая поря­ док связности q гомеоморфна сфере с р = / простыми ручками. Все такие поверхности п р и д а н н о м q гомеоморфны между собой. Всякая неориентируемая замкнутая поверхность, имеющая по­ рядок связности q, гомеоморфна сфере с q круглыми дырами, в границах каждой из которых произведено отождествление пар ди­ аметрально противоположных точек (или, если угодно, сфере с вклеенными q поверхностями Мёбиуса). Все такие поверхности п р и д а н н о м q также гомеоморфны между собой. С другой стороны, никакие две поверхности с различными q или две поверхности, из которых одна ориентируема, а другая неориентируема, не могут быть гомеоморфны, так как ориентируе­ мость и порядок связности q суть топологические инварианты, т. е. одинаковы у всех гомеоморфных поверхностей. (В частности, все нормальные формы топологически различны.) Итак, две замкнутые поверхности тогда и только тогда гомео­ морфны, когда они обе ориентируемы или неориентируемы и имеют один и тот же порядок связности. Таким образом, два инвариант­ ных свойства: ориентируемость и порядок связности — вполне ха­ рактеризуют топологическую структуру замкнутой поверхности, или, как говорят иначе, они образуют полную систему топологических инвариантов замкнутых поверхностей. Изложенный здесь метод по­ строения нормальных форм принадлежит американскому математику Дж. А л е к с а н д е р у . Не останавливаясь на этом подробно, заметим, что классифика­ ция поверхностей с краем теперь легко уже может быть выполне­ на. Полную систему топологических инвариантов для них образуют: 1) ориентируемость, 2) порядок связности, 3) число компонент края. (Конечно, при этом еще должно быть строго доказано, что число компонент края — топологический инвариант.) q t д t 2 9 § 2. Многообразия 2.1. Введение. Наиболее важными из всех топологических объектов являются л-мерные многообразия. Это — связные мно­ жества, имеющие вблизи каждой своей точки ту же топологичес­ кую структуру, что и л-мерное евклидово пространство, которое, следовательно, является частным случаем многообразия. Одномерных многообразий существует только два: прямая линия и окружность