* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

512 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ считать, что дыры, составляющие пару, симметричны относительно некоторой (для каждой пары своей) диаметральной плоскости сфе­ ры. Отождествление граничных окружностей удобнее всего теперь выполнить, соединяя в одну те их точки, которые соответствуют друг другу в смысле указанной симметрии. Описанная модель замкнутой ориентируемой поверхности, по существу, совпадает с клейновой нормальной формой — сферой с р «ручками^. В этом легко убедиться наглядно, вытягивая части поверхности Ф, прилежащие к дырам, в виде трубок наружу; тогда отождествление их граничных окружностей можно осущест­ вить непосредственным склеиванием; при этом каждая пара трубок образует одну ручку. Читатель без труда докажет, что эйлерова характеристика последней модели х ~ 2 — 2р. Так как, с другой стороны, % = 2—9, то у замкнутой ориентируемой поверхности порядок связности q = 2p т. е. является четным. Число р назы­ вается родом поверхности. Остановимся еще на другой нормальной форме, к которой мо­ гут быть приведены все, за исключением сферы, замкнутые ориен­ тируемые поверхности. Будем снова отправляться от поверхности Ф и проведем на ней р непересекающихся разрезов —на каждую пару дыр по одному, ведущему от некоторой точки на граничной окружности одной дыры к соответствующей точке на окружности другой. При этом пара дыр сольется в одну «четырехугольную» дыру, у которой одна пара противоположных сторон — это берега только что проведенного разреза, а другая — противоположные бе­ рега разреза Г, породившего рассматриваемую пару дыр. Таким образом, поверхность Ф превратится в новую поверхность — сферу с р четырехугольными дырами. Для получения из нее первоначаль­ ной поверхности F нужно склеить берега разрезов, иными слова­ ми, склеить противоположные стороны граничных четырехугольников (при этом каждый четырехугольник порождает одну ручку). После того как склеиванием уничтожена одна четырехугольная дыра, другой четырехугольник можно передвинуть по поверхности так, чтобы одна из его вершин совпала с какой-либо вершиной четырехугольника первой дыры. Поэтому мы можем заранее пред­ полагать, что все четырехугольники имеют общую вершину. Тогда после вырезания их на сфере получится одна дыра, ограниченная 4р отрезками — сторонами вырезанных четырехугольников. Оставшаяся поверхность Р гомеоморфна кругу, так как является простой и имеет край, состоящий из одного куска. Окружность этого <скруга» Р разбита на 4р дуг, которые мы обозначим последовательно че­ рез Бь % , lu 4 i . - - . i lp> \ , Ър* V Поверхность F получается из Р, если каждую дугу \ склеить с дугой £А = £ Г ' (Т. е. с ду° й i * i но проходимой в противоположном направлении), дугу tj^ — % k г