* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ U ) 511 Выберем такую триангуляцию A , для которой эго число к максимально; тогда Ф необходимо будет простой поверхностью, так как всякий замкнутый разрез должен разбивать поверхность Ф. В самом деле, если бы нашелся замкнутый разрез, не разби­ вающий поверхности Ф, то его можно было бы заменить простым замкнутым, не разбивающим поверхности Ф разрезом, не имеющим общих точек с краем поверхности Ф, и, следовательно, иа поверхности F (в ее триангуляции K * ) нашелся бы (/г+1)-й разрез, не пересекающий предыдущих и совместно с ними не раз бивающий поверхности F. Это противоречит максимальному свой ству числа к. Итак, Ф — простая поверхность с краем, состоящим из г компонент. На основании предыдущего поверхность Ф можно реализовать в форме сферы с г круглыми дырами. Переходя обратно от Ф к Z , мы должны произвести отождествление точек тех контуров, которые возникли из разрезов Г , Г . Здесь нужно различать следующие случаи. 1) Разрез Г — однобережный. Он порождает один контур 5, причем каждая точка поверхности F лежащая на контуре Г, пре­ вращается в две диаметрально противоположные точки контура S. Отсюда понятно, что обратный процесс будет состоять в отож­ дествлении пар диаметрально противоположных точек такого кон­ тура. Такой разрез назовем разрезом типа 1, а единственную порожденную им дыру поверхности Ф—дырой типа I . 2) Разрез Г — двубережный. Он порождает два контура S и 5 , причем каждая точка а поверхности F лежащая на нем, пре­ вращается в две соответственные точки а и а этих контуров. Здесь существенно различны еще два случая. 2.1) При движении точки а, по контуру S соответственная точка а описывает контур S в том же направлении относительно поверхности Ф, т. е. если глядеть на поверхность Ф из ее цент­ ра, го точки а и а. окажутся описывающими контуры S и 5 либо оба почасовой стрелке, либо оба —против. (Разрез типа П и пара порожденных им дыр типа II.) 2.2) При движении точки а по контуру S точка а описыва­ ет контур 5 в противоположном относительно поверхности Ф на­ правлении. (Разрез типа III и пара дыр типа III.) Если хотя бы один из разрезов принадлежит к типам I или I I , то поверхность неориентируема. Следовательно, в случае ориен­ тируемой поверхности могут представиться только разрезы типа I I I . Таким образом, каждая ориентируемая замкнутая поверхность F с точки зрения топологии может быть получена из сферы выре­ занием некоторого числа р ^ О пар круглых дыр, не задевающих друг друга, и последующим отождествлением граничных окруж­ ностей дыр каждой пары, причем это отождествление должно быть осуществлено по типу I I I . Для определенности будем { +t} 7 х й t x 2 t х 2 k 2 2 л г x 2 г x г 2