* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

510 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 1) Эйлерова характеристика простой поверхности с одним краем равна эйлеровой характеристике треугольника, т. е. равна 3 — 3 + 1 = 1 (было доказано, что такие поверхности гомеоморфны кругу, а следовательно, и треугольнику). Порядок связности д ^ 1. 2) Эйлерова характеристика простой поверхности, граница ко­ торой состоит из г кусков, равна 2 —г. Действительно, присоеди­ нив к нашей поверхности, которую мы представим в виде сферы с отсеченными от нее г сегментами, г—1 из этих сегментов, мы получим поверхность с одним краем. Эйлерова характеристика последней, по доказанному, равна 1, следовательно, искомая эйлеро­ ва характеристика равиа 1 — (г —1) = 2—г. Порядок связности q = г. Заметим, что отсюда следует для простых поверхностей топо­ логическая инвариантность числа г компонент края. 1.16. Классификация поверхностей. Перейдем теперь к цент­ ральному вопросу этого параграфа — к вопросу о топологической классификации замкнутых поверхностей и построению для них нормальных форм. В предыдущем пункте было показано, что если на поверхности нельзя провести ни одного не разбивающего ее замкнутого разреза и если ее край состоит из г компонент, то она гомеоморфна сфере с г круглыми дырами. Опираясь на этот результат, перейдем к общему случаю. Пусть выбрано некоторое клеточное разбиение К поверхности F; взяв его барицентрическое разбиение, получим триангуляцию поверхности; триангуляция может быть сделана сколь угодно мел­ кой, если воспользоваться достаточным числом последовательных барицентрических подразделений 1С, 1С, K - Как мы уже знаем, при барицентрическом разбиении эйлерова характеристика % не меняется (здесь пока не приходится пользоваться теоремой об инвариантности эйлеровой характеристики в общем случае). Проведем в триангуляции K максимальное число k замкнутых непересекающихся разрезов Г , Г , Г , не разбивающих по верхности F. Число таких разрезов, как мы сейчас увидим, не больше, чем 2 — х> - - ограничено для всех подразделений fC K В самом деле, проведя все k разрезов, мы не изменим эйлеровой характеристики, так как при каждом разрезе число вершин уве­ личивается настолько же, насколько увеличивается и число ребер. А так как каждый разрез дает одну или две граничные линии, то мы получим поверхность Ф с краем, состоящим из г компонент, где k^r^2k. Если мы теперь к каждой компоненте края при­ клеим по грани с соответствующим числом ребер, то получим замкнутую поверхность, эйлеровз характеристика которой равна Х + г (прибавилось г граней, число вершин и ребер не изменилось). Ранее было доказано (см. п. 1.9), что эйлерова характеристика любой поверхности не более 2; значит, %-\-г<:2 и т а к как k^r, то k^2 — х{S) {S) г 2 А т е s 9