* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

504 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ средственно, что при любой ориентации этих треугольников найдется такое ребро, которое от двух прилегающих к нему треугольников получит одно и то же направление; следовательно, эллиптическая плоскость неориентируема. На рис. 14 показана некоторая ориен­ тация треугольника 2; теперь, чтобы не получить противоречия на нижнем ребре треугольника / , этот треугольник приходится ориен­ тировать уже вполне определенным образом. Но тогда, как бы ни ориентировать треугольник 3, неизбежно возникнет противоречие на общем ребре или треугольников / и 3, или треугольников 3 и 2. Постараемся наглядно представить себе топологическую струк­ туру эллиптической плоскости. Уже было сказано, что эта струк­ тура тождественна с топологической структурой связки прямых. Вокруг центра связки произвольным радиусом опишем сферу. Каж­ дую прямую связки эта сфера пересечет в двух диаметрально противоположных точках, причем близким прямым, естественно, будут соответствовать близкие пары диаметрально противополож­ ных точек. Поэтому многообразие этих диаметрально противополож­ ных пар гомеоморфно эллиптической плоскости. Мы лучше себе представим топологию этого многообразия, если вообразим, что две точки каждой пары слились в одну. Итак, мы получим эллипти­ ческую плоскость, если отождествим каждую точку сферы с диаметрально противоположной ей точкой той же сферы. Это — очень удобная симметричная модель проективной плоскости. При описанном только что процессе отождествления верхняя полусфера всеми своими точками наложится на нижнюю полусфе­ ру; поэтому можно сразу отправляться не от сферы, а от полу­ сферы, но при этом еще нужно отождествить диаметрально про­ тивоположные точки экватора. В последнем построении можно полусферу заменить гомеоморфным ей кругом. В результате мы получим вторую модель: эллиптическая плоскость гомеоморфна фи­ гуре, полученной из круга отождествлением диаметрально проти­ воположных точек его окружности. Вернемся к первой модели и посмотрим, во что превратится при отождествлении диаметрально противоположных точек часть сферы, заключенная между двумя горизонтальными плоскостями, из которых одна расположена чуть выше экватора, а другая — на столько же ниже его (рис. 15). Нетрудно понять, что при отождествлении этот экваториальный пояс превратится в поверхность Мебиуса. Северная же часть сферы отождествится с симметричной ей южной. Поэтому эллиптическую плоскость можно представить еще и так: поверхность Мёбиуса и круг, имеющий окружность той же длины, что граничная линия поверхности Мёбиуса, нужно склеить вместе вдоль всей границы. Эта третья модель становится совсем наг­ лядной, если заметить, что область проективной плоскости, лежа­ щая между двумя ветвями гиперболы (рис. 16), гомеоморфна поверх-