* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 503 этой плоскости. Таким же образом строится «проективное простран­ ство», но при этом добавляют еще условие, что все бесконечно удаленные точки пространства образуют плоскость (бесконечно удаленную); оказывается тогда, что все параллельные плоско­ сти имеют общую бесконечно удаленную прямую. Такое расши­ рение обычной плоскости и обычного пространства делается для того, чтобы операция центрального проектирования стала вза­ имно однозначной. Действительно, рассмотрим в обычном простран­ стве плоскость а , например горизонтальную, и вне ее точку О. Тогда каждой точке х плоскости а будет соответствовать опре­ деленная прямая Ох связки с центром в О. Обратно, каждой пря­ мой этой связки, з а и с к л ю ч е н и е м прямых, параллельных а , будет соответствовать определенная точка плоскости а, а именно точка пересечения. Для того чтобы уничтожить это исключение, и вво­ дятся в проективной геометрии бесконечно удаленные элементы. Нетрудно убедиться, что после присоединения (указанным выше способом) бесконечно удаленных точек каждая прямая связки бу­ дет пересекать плоскость а , и соответствие прямых связки точкам плоскости а будет взаимно однозначным. В связке естественным образом существует понятие бесконечной близости прямых (можно сказать, напри­ мер, что две прямые, принадлежащие связке, близки, если угол между ними мал); поэтому можно говорить о топо­ логии связки прямых. В силу взаимно однозначного соответствия между связ­ кой и проективной плоскостью, можно отношение близости из связки перенес­ ти на плоскость, считая две точки плос­ кости близкими, если близки соответст­ вующие им прямые связки. Этим на плос­ кости определяется топология, совпадаюРис. 14. щая с топологией связки: связка, как совокупность прямых, гомеоморфна проективной плоскости, как совокупности точек. Нетрудно ввести на проективной плоскости и метрику, считая расстояние между двумя ее точками равным мень­ шему из углов между соответствующими прямыми связки. Проек­ тивная плоскость с введенным этим способом расстоянием на ней называется эллиптической плоскостью (см. стр. 406—407 этой книги ЭЭМ). Три прямые, не проходящие через одну точку, разбивают эл­ липтическую плоскость на четыре треугольника с общими верши­ нами (на рис. 14 один из них — треугольник / — х о р о ш о виден весь, а каждый из остальных— треугольники 2, 3 , 4 — рассечен беско­ нечно удаленной прямой на два куска). Нетрудно убедиться нено-