* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

502 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Покажем, что сфера при любом клеточном разбиении оказыва­ ется ориентируемой. Для этого достаточно каждой грани сооб­ щить такую ориентацию, чтобы, рассматривая ее из центра сферы, мы видели направление вращения в каждой грани, например, как направление против часовой стрелки. Легко понять, что каждые две соседние грани будут при этом ориентированы одинаково в смысле данного выше определения. Рис. 12. Рис. 13. Можно доказать, что ориентируемые поверхности в трехмерном евклидовом пространстве расположены всегда двусторонне, неориентируемые —односторонне. Однако в случае более сложных трехмерных многообразий это не всегда так (см. п. 2.10). Другим примером иеориентируемой (односторонней) поаерхности может служить поверхность, изображенная на рис. 12. Если эту поверхность и полусферу склеить по их границам (рис. 13), то получится замкнутая неориентируемая поверхность (так называе­ мая поверхность Клейна). На рис. 13 она пересекает сама себя по окружности. Последний факт не случаен: всякая замкнутая неориентируемая поверхность в нашем пространстве непременно сама себя пересекает. 1.13. Проективная плоскость ). Иеориентируемой оказывается и плоскость, изучаемая в проективной геометрии и называемая короче проективной плоскостью. Она существенно отличается от обычной плоскости. Чтобы из последней получить проективную пло­ скость, уславливаются считать, что на каждой ее прямой, кроме обычных точек, существует еще одна бесконечно удаленная, пре­ вращающая прямую в замкнутую линию. При этом считают, что все параллельные прямые имеют общую бесконечно удаленную точ­ ку, а бесконечно удаленные точки непараллельных прямых различ­ ны. Наконец, уславливаются, что все бесконечно удаленные точки плоскости образуют одну прямую — бесконечно удаленную прямую 1 1 ) Ср. стр. 112—114 ки IV ЭЭМ.