* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Л Н И И ПОВЕРХНОСТИ ИИ 493 Условие А устанавливает топологическую однородность поверх­ ности: для каждой ее точки р можно указать такой кусок поверх­ ности, содержащий р (окрестность точки /?), который может быть топологически отображен на круг, причем р отображается в центр круга. Если /> — внутренняя точка грани, это очевидно, так как в этом случае вокруг р можно описать круг, всеми своими точками лежащий в этой грани. Если р — внутренняя точка ребра, то, так как из условия А вытекает, что каждое ребро принадлежит точно двум граням, можно искомый кусок составить из двух полукругов, описанных вокруг р соответственно в каждой из этих граней. Наконец, если р есть вершина о°, то из каждой грани af звезды а° можно выделить круговой сектор с центром в а° так, что все k таких секторов образуют на F окрестность точки а , составлен­ ную из этих секторов, как круг, разбитый k радиусами на k сек­ торов. Можно доказать и обратно, что из первого определения вытекает условие А. Как было только что сказано, из условия А вытекает, что к каждому ребру примыкают две и только две грани; однако условие А сильнее последнего утверждения. Так, поверхность (Л: -\-у - f z ) = (Л: —у + г ) [поверхность вращения лемнискаты (х +У ) = (х —у ) вокруг оси у] не может быть разбита на про­ стые области, удовлетворяющие условию А, и поэтому не является «замкнутой поверхностью» в смысле данного выше определения: окрестность начала координат состоит из двух кусков, соприка­ сающихся между собой, подобно двум полостям конуса, лишь в одной точке — вершине. Между тем клеточное разбиение этой поверхности удовлетворяет тому условию, что к каждому ребру примыкают точно две грани. Из условия А, кроме того, следует, что любые две грани а* и а* можно связать цепочкой граней: а —а\^ а\^ a* = a* в которой соседние грани a* и о>\ имеют общее ребро. Дейст­ вительно, если бы это было не так, то совокупность граней, ко­ торые могут быть соединены с а* подобными цепочками, не исчер­ пывала бы всего множества граней комплекса /С . В этом случае все элементы комплекса К можно было бы распределить в два класса, отнеся в первый все грани только что рассмотренной со­ вокупности, все их ребра и вершины, а во второй —все прочие элементы комплекса А' . Первый класс естественно является комп­ лексом, так как для него выполнены условия 1) и 2) п. 1.5. Но второй класс также является комплексом: условие 1) выполнено для него, так как он составляет часть комплекса К \ условие 2) также должно быть выполнено, ибо в противном случае нашлась бы во втором классе грань а (или ребро, а значит и обе примы­ кающие к нему грани) с вершиной, не принадлежащей второму 0 2 % 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 г р s f t 2 2 2 г 2