* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 489 в комплексе К существует р (К) линейно независимых простых циклов Z Z , ... Z и притом таких, что любой цикл через них линейно выражается. Пусть a' а' , а — те ребра, которые можно удалить из комплекса К так, что оставшийся комплекс К* будет иметь то же число компонент. Это значит, что оба конца каждого из этих ребер a' принадлежат одной компоненте К* и, следовательно, могут быть внутри этой компоненты соединены простой цепочкой ребер. Каждая такая цепочка вместе с соответствующим ребром a' образует простой цикл Z (считаем его ориентированным соот­ ветственно ориентации ребра a' ). Ясно, что циклы Z , Z линейно независимы; действительно, любая линейная их комбина­ ция X Z + . + KZ содержит ребро а' точно K раз, н, следо­ вательно, для обращения ее в нуль необходимо, чтобы K = 0. Итак, все коэффициенты линейной комбинации должны обращаться в нуль, если она равна нулю, а это и значит, что циклы Z ..Z линейно независимы. Покажем теперь, что любой цикл линейно выражается через циклы Z Z , ., Z Для этого заметим прежде всего, что любой цикл, не равный нулю, должен в числе своих существенных ребер содержать хоть одно из ребер а , a' а . В противном случае из него можно было бы выделить простой цикл, не содер­ жащий ни одного из названных ребер, и тогда из комплекса К сверх ребер а , , ., а можно было бы удалить еще любое ребро этого простого цикла, не меняя числа компонент комплекса К, что противоречит максимальности числа p Пусть Z—любой цикл из Кх l T 2 f pt v 2 р k k k k x pt t x p pt к k k 1 ? p j l ? 2 pr х 2f рх Рх v Z=\\ a x x + . . . + ii a' p Pi + Я, где через R обозначена сумма членов, не содержащих ребер а' а р . Составим никл Z — \x Z —. . . — ]i Z Этот цикл не содержит в качестве своих существенных ребер ни одного ребра ai fe=l, . -iP \ значит, по только что сделанному замечанию он равен нулю: Z — \i Z — . . . — | л ^ Г = 0, т. е. любой цикл Z из К линейно выражается через Z ., Z . В заключение отметим следующее свойство порядка связности, которое может быть названо п р а в и л о м м о н о т о н н о с т и : Если Л'* есть подкомплекс линейного комплекса К (т. е. ком­ плекс, являющийся частью комплекса К), то р (К*)^р (К). В самом деле, переход от К к К* можно осуществить последова­ тельным отбрасыванием лишних ребер, а затем — лишних вершин. Так как р = а — а + р , то, отбрасывая одно ребро, мы или вовсе не изменим р (если р при этом увеличилось на единицу). и x x p pi k x x x Л l9 pt х х 1 1 0 0 г 0