* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

486 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ единицы, поэтому нечетный индекс когут иметь только начальная н конечная точки. Достаточность признака доказывается несколько труднее. Самостоятельное проведение этого доказательства может послужить хорошим упражнением. Заметим, что число точек нечетного индекса всегда четно, так как сумма индексов всех вершин, как легко видеть, равна удвоен­ ному числу простых дуг, из которых составлена линия. Линия, не содержащая в себе никакой простой замкнутой линии, как части, называется ациклической линией, или деревом. Обобщая способ составления линии из простых дуг, приходят к понятию линейного комплекса. 1.2. Линейный комплекс. Конечное множество точек будем на­ зывать нульмерным комплексом. Точки этого множества называют вершинами комплекса. Одномерный (или линейный) комплекс есть множество, состоя­ щее из конечного числа простых дуг (ребра комплекса) и конеч­ ного числа точек (его вершин), причем выполняются следующие условия: 1) любые два ребра либо не имеют общих точек, либо имеют только один общий конец; каждая вершина либо не при­ надлежит ни одному ребру (в этом случае она называется свобод­ ной или изолированной), либо служит концом одного или несколь­ ких ребер; 2) оба конца каждого ребра являются вершинами ком­ плекса. Число ребер комплекса обозначается через а , число вершин — через сс . Комплекс называется связным, если он не может быть разбит на два комплекса без общих вершин. В противном случае ком­ плекс распадается на некоторое число р связных комплексов без общих вершин и без общих ребер. Эти связные комплексы назо­ вем компонентами данного комплекса (иные из них могут состоять всего из одной вершины). Легко видеть, что в связном комплексе К любые две верши­ ны а и Ь можно соединить ломаной, составленной из ребер aa , a a ,..., a _ b комплекса, причем каждые два соседних ребра в этой последовательности имеют общий конец; а является концом первого ребра, b—концом последнего. Действительно, допустим, что это не так; тогда совокупность тех вершин, которые можно соеди­ нить такими цепочками с а, не исчерпывает всей совокупности вершин комплекса К. Указанная совокупность вместе со всеми ребрами, концы которых вошли в нее, образует некоторый ком­ плекс К\* Все остальные вершины и ребра, как нетрудно убедиться, тоже образуют комплекс ff . Итак, данный комплекс К разбился на два комплекса без общих вершин, и потому он не может быть связным, что противоречит условию. Наоборот, если в комплексе любые две вершины можно связать цепочкой ребер указанного вида, то комплекс связен. х 0 0 t t 2 n x 2