* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 485 (см. рис. 7). Чтобы показать невозможность топологическим пре­ образованием отрезка перевести его конец во внутреннюю точку, достаточно указать топологическое свойство, которым обладает конец и не обладает внутренняя точка. Таким свойством может служить следующий факт: если из отрезка удалить один конец, то остаток будет связным множеством. При удалении любой внутренней точки связность нарушается. Таким образом доказывается т о п о л о г и ч е ­ ская инвариантность пон ятия к о н е ц простой дуги. Линией будем называть связную фигуру, которую можно составить из конечного числа простых дуг, не имею­ щих общих точек за исклю­ чением некоторых общих кон­ цов. Точка, являющаяся общим концом точно двух дуг, о-а>-а b-b а также внутрейняя точка лю­ бой из дуг называются регу­ Рис. 7. лярной точкой линии; точка, являющаяся общим концом k дуг, называется точкой ветвления индекса k при и кон­ цевой точкой, или концом линии, при k = \. Топологическая инвариантность этих понятий легко доказывается; вот топологи­ ческое свойство, которым характеризуется точка индекса к: в лю­ бой окрестности такой точки а можно найти k точек, при уда­ лении которых линия превращается в несвязную фигуру, причем компонента последней, содержащая а, лежит в этой окрестности; число k является минимальным из чисел, удовлетворяющих такому условию. Этим дается топологически инвариантное определение индексу ветвления, а вместе с тем доказывается топологическая инвариантность понятий конца линии, регулярной точки, точки вет­ вления. Только что приведенные рассуждения превращаются в строгие доказательства, если опираться на изложенное в § 3 по поводу понятия связности (см. п. 3.3). Линия, все точки которой регулярны, называется простой зам¬ кнутой линией. Она гомеоморфна окружности. Индекс точки позволяет дать простой признак, позволяющий узнать, можно ли данную линию начертить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя карандашом дважды никакой дуги (уникурсальная линия). Это возможно тогда и только тогда, когда линия имеет не более двух точек нечетного индекса. Карандаш, проходя через точку, каждый раз увеличивает ее индекс на двё п r