* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

482 ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ извилистую замкнутую линию па сфере. Так вот, теорема Жордана утверждает, что любая сколь угодно извилистая замкнутая линия на сфере разбивает сферу. Теорема Жордана устанавливает не­ которое топологическое свойство сферы. Этим свойством не обла­ дает тор; значит, сфера и тор не гомеоморфны. Топологические свэйства фигур иногда характеризуют числом или каким-нибудь, например алгебраическим, объектом (многочле­ ном, группой и т. п.) таким образом, чтобы гомеоморфным фигу­ рам соответствовали равные числа или одинаковые (точнее, изо­ морфные) объекты ) . В этом случае говорят о топологических инвариантах. Это —математические объекты, однозначно сопостав­ ленные фигурам и не меняющиеся при топологических преобразо­ ваниях фигур. (В сущности, всякое топологическое свойство фи­ гуры есть ее топологический инвариант.) Так, число компонент (отдельных кусков), из которых состоит фигура, есть ее тополо­ гический инвариант. Число точек самопересечения плоской кри­ вой— ее топологический инвариант. В дальнейшем будет приве­ дено немало примеров топологических инвариантов. Подчеркнем еще раз, что если какой-нибудь топологический инвариант имеет различные значения для двух фигур, то эти фигуры не гомеоморфны. Само число измерений (размерность) пространства является то­ пологическим инвариантом. Например, трехмерный куб нельзя топо­ логически отобразить на квадрат. Это обстоятельство было впервые доказано Б р а у э р о м в 1911 году. Что это — не само собой разу­ меющийся факт (наоборот, трудная теорема), Вам станет ясно, если Вы вспомните, что куб можно взаимно однозначно отобразить на квадрат. Но такое отображение не может быть взаимно непрерыв­ ным— в этом и заключается суть инвариантности числа измерений. 0.5. Внутренние и невнутренние свойства. Изотопия. Тополо­ гические свойства фигуры были определены как такие свойства, которые сохраняются при всех топологических ее преобразо­ ваниях. В этом определении пет пи слова о том простран­ стве, в котором данная фигура лежит; фигура рассматривается как некий замкнутый мир, и все то, что находится вне ее, нас в эту минуту не интересует. Совокупность таким образом определен­ ных топологических свойств фигуры образует в н у т р е н н ю ю т о п о л о г и ю этой фигуры. Теперь возникает вопрос о так ска­ з а т ь невнутренней топологии, «топологии положения», трактующей о свойствах данной фигуры по отношению к окружающему ее пространству. Совершенно так же, как мы рассматривали свой­ ства фигуры, сохраняющиеся при топологических отображениях ее, мы можем рассматривать те ее свойства, которые сохраняются лишь при топологических преобразованиях в с е г о пространства, 1 1 ) Об изоморфизме, например, групп см. ЭЭМ, кн. I I , стр. 293.