* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ 481 друг с другом, кусков. В первом случае фигура называется связ­ ной, во втором — несвязной. Точный смысл этих терминов таков: фигура несвязна, если ее можно разделить на две такие ча­ сти, что ни в одной нз них не найдется ни одной точки, беско­ нечно близкой к другой части; фигура связна, если ее на такие две части разделить невозможно. Так, фигура, состоящая из всех точек прямолинейного отрезка, кроме его середины, несвязна, так как она распадается на два отрезка половинной длины, отделенных друг от друга выкинутой серединой, причем любая фиксирован­ ная точка, например, правого отрезка не бесконечно близка к ле­ * вому отрезку, так как находится от него на конечном расстоянии. Тем более несвязна фигура, состоящая из двух отрезков, отде­ ленных друг от друга не одной точкой, а целым промежутком. Прямолинейный отрезок дает простой пример связной фигуры (строгое доказательство см. в п. 3.3, где понятие связности из­ лагается подробнее). Если фигура несвязна, то она распадается на связные части, называемые компонентами данной фигуры (см. п. 3.3). Компонента может состоять из одной лишь точки, например буква i состоит из двух компонент, одна из которых есть «точка над Ь. 0.4. Топологические инварианты. Для доказательства гомео­ морфизма двух фигур достаточно установить хотя бы одним спо­ собом топологическое соответствие между их точками. Гораздо труднее обычно бывает доказать, что какие-нибудь две фигуры не гомеоморфны, потому что при этом приходится доказывать, что топологическое соответствие между такими фигурами вообще невозможно, т. е. какое бы соответствие между их точками ни установить, оно неизбежно окажется не топологическим. Чаще всего для доказательства топологического различия двух фигур стараются найти какое-нибудь топологическое свойство, которое принадлежит одной из них и не принадлежит другой. На основа­ нии самого определения топологического свойства такие фигуры не могут быть гомеоморфны. Приведем пример: тор (поверхность кольца, спасательного круга) и сфера наверное не гомеоморфны, так как на торе можно провести замкнутый разрез (например, по экватору), который не разбивает тор на две части, а на сфере такого разреза провести нельзя: всякая замкнутая линия на сфе­ ре разбивает ее. Последнее утверждение далеко не очевидно (оно называется теоремой Жордана для сферы и его доказатель­ ство совсем не просто, поэтому нет возможности его здесь при­ вести). Конечно, вполне очевидно, что, например, любая окружность разбивает сферу на два куска, но нам надо увериться, что любая замкнутая линия разбивает сферу; ведь можно было бы предполо­ жить, что топологическое отображение тора на сферу возможно, но так сложно, что переводит экватор тора в какую-то очень 16 Энциклопедия, к н . 5