* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ 479 движной, между переменной и ее пределом). Наглядно можно осуществить топологическое преобразование фигуры, деформируя ее как угодно, лишь бы при этом не происходило «разрывов» и «склеиваний». Так, окружность можно превратить в эллипс, овал неправильной формы или даже в многоугольник, вообще в любую простую замкнутую линию (про­ стую, т. е. без точек самопересе­ чения). Однако окружность нельзя топологически превратить в не­ замкнутую линию, так как для этого пришлось бы ее разорвать, или в лемнискату (восьмерку), так как для этого пришлось бы соединить две ее точки в одну («склеивание»). Сферу можно топологически преобраэовать в поверхность эллипсоида или куба и вообще в поверхность любого выпуклого тела; одна­ ко ее нельзя топологически преобразовать в поверхность коль­ ца (тор). Покажем, что всякий выпуклый многогранник Р можно тополо­ гически преобразовать в шар. Пусть О — фиксированная точка внутри Р ; опишем вокруг нее произвольный шар. Проведем из С любой луч, и пусть он пересечет поверхность многогранника в точ­ ке а, поверхность шара — в точке Ь. Отобразим отрезок Оа про­ порционально на радиус Ob (т. е. любой точке х отрезка Оа будем считать соответствующей ту точку у радиуса 0&, которая Р и с Ох Оа. с удовлетворяет условию: Если это сделать для всех вы­ ходящих из О лучей, то тем самым получится топологическое отображение многогранника Р на шар (заметим, что при этом и поверхность многогранника топологически отображается на поверх­ ность шара). З а д а ч а . Доказать, что внутренность круга можно топологи­ чески отобразить на всю плоскость. У к а з а н и е . При помощи проектирования отобразите сначала внутренность круга на полусферу (рис. 2), а затем, проектируя из центра полусферы, отобразите эту последнюю на плоскость, параллельную плоскости ее экватора. (Заметим, что последнее отображение непрерывно, но не равномерно непрерывно.) Фигуры, допускающие топологическое преобразование одна на другую, называются гомеоморфными или принадлежащими одному топологическому типу. По определению, все топологические свой­ ства у гомеоморфных фигур совпадают, поэтому для топологии, изучающей лишь топологические свойства, все гомеоморфные меж­ ду собой фигуры равноценны — представляют собой как бы различные