* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

472 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ стягивании треугольника в точку. Поэтому евклидова плоскость является поверхностью постоянной нулевой кривизны. Так как геодезическими линиями на плоскости Лобачевского являются также прямые, то геодезический треугольник па плос­ кости Лобачевского также является прямолинейным треугольником, а угловой дефект 6 этого треугольника связан с его площадью * соотношением s = k6. Так как угловой избыток этого треугольни­ ка равен — б, то отношение углового избытка геодезического тре­ угольника на плоскости Лобачевского к его площади равно — 1 /k для всех треугольников. Поэтому предел этого отношения при стяги­ вании треугольника в точку также равен — т . е. полная кри­ визна плоскости Лобачевского во всех ее точках равна — \jk. Итак, плоскость Лобачевского является поверхностью постоянной от­ рицательной кривизны. Так как понятие полной кривизны поверхности принадлежит к внутренней геометрии поверхности, то полная кривизна плоскости Лобачевского не зависит от того, рассматриваем ли мы плоскость Ло­ бачевского в виде полости сферы мнимого радиуса в псевдоевкли­ довом пространстве или в виде какой-нибудь другой модели, или вообще независимо от всяких моделей. Понятие кривизны можно распространить и на трехмерные пространства весьма общего вида—на пространства, каждая точка которых определяется тремя координатами, причем для каждых двух точек с бесконечно близкими координатами определено р а с с т о я н и е между этими точками. С помощью этого расстояния в таких пространствах определяются длины конечных дуг линий, углы между линиями и площади фигур на поверхностях. Такие про­ странства называются общими римановыми пространствами, так как идея рассмотрения этих пространств принадлежит тому же Б. Р и м а н у, который определил неевклидовы пространства Римана. В общих римановых пространствах можно определить также геодезические линии и ге­ одезические треугольники. Поэтому в них также можно рассмотреть предел отношения углового избытка геодезического треугольника к его площади при стягивании треугольника в точку по некоторой поверхности. Такой пре­ дел называют кривизной пространства в данной точке и в данном двумер­ ном направлении; определенные таким образом кривизны изменяются при переходе от одного двумерного направления в одной точке к другому дву­ мерному направлению в той же точке и при переходе от точки к точке. Так как геодезическими линиями неевклидова пространства Римана яв­ ляются прямые, а через всякие три точки этого пространства проходит плоскость, то кривизна неевклидова пространства Римана, получаемого из гиперсферы радиуса г, во всех точках и во всех двумерных направлениях равна ^ . Поэтому неевклидово пространство Римана является общим римановым пространством постоянной положительной кривизны. Пространст­ вом постоянной кривизны является и евклидово пространство: геодези­ ческими линиями евклидова пространства являются прямые, а через каждые три его точки проходит плоскость. Поэтому кривизна евклидова простран­ ства во всех точках и во всех двумерных направлениях равна нулю, т. е. евклидово пространство является пространством постоянной нулевой кри-