* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 471 з и ч е с к и е л и н и и , т. е. линии, являющиеся кратчайшими линиями в достаточно малых областях поверхности (это название объяс­ няется тем, что такие линии на земной поверхности играют важ­ ную роль в геодезии). Криволинейные треугольники на поверхности, стороны которых являются дугами геодезических линий, мы будем называть г е о д е з и ч е с к и м и т р е у г о л ь н и к а м и (рис. 102). С помощью геодезических треугольников можно определить п о л ­ н у ю к р и в и з н у поверхности в данной точке (называемую также г а у с с о в о й к р и в и з н о й ) . Для этого заметим, что для геоде­ зического треугольника можно определить у г л о в о й и з б ы т о к ( э к с ц е с с ) так же, как для сферического треугольника; однако здесь рассматриваются не только случаи, когда сумма углов треугольника больше двух прямых углов, но и случаи, когда эта сумма равна или меньше двух прямых углов. Во вто­ ром случае угловой избыток равен нулю, а в третьем случае — отрицателен; в по­ следнем случае абсолютная величина отри­ цательного углового избытка называется угловым дефектом — именно так определялся угловой дефект треу­ гольника на плоскости Лобачевского. Будем называть полной кривиз­ ной поверхности в данной точке предел отношения углового избытка геодезического треугольника к его площади при стягивании тре­ угольника в точку. Из этого определения видно, что полная кривизна поверхности может быть как положительной, так и равной нулю или отрицательной. Ясно также, что полная кривизна принадлежит к внутренней геометрии поверхности. Так как геодезическими линиями на сфере являются большие окружности, то геодезическим треугольником на сфере является сферический треугольник, а угловой избыток е этого треугольника связан с его площадью 5 соотношением s — r e, где г — радиус сферы. Следовательно, отношение углового избытка геодезическо­ го треугольника на сфере к его площади равно 1/г для всех треугольников. Поэтому предел этого отношения при стягивании треугольника в точку также равен 1/г , т. е. полная кривизна сферы во всех точках равна 1/г . Поэтому сфера, а следователь­ но, и неевклидова плоскость Римана являются поверхностями постоянной положительной кривизны. Поверхностью постоянной кривизны является и евклидова плоскость: геодезическими линия­ ми евклидовой плоскости являются прямые, геодезический тре­ угольник на евклидовой плоскости — прямолинейный треугольник, и так как угловой избыток треугольника на евклидовой плоскости всегда равен 0, то нулю равно отношение углового избытка к площади треугольника, а значит, и предел этого отношения при 2 2 2 2