* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 469 против, точки дуги о* перейдут в касательные дуги s. Дуга а будет прохо­ дить через те же точки Л и В, что и дуга s; прямые а и Ь, в которые переводит отображение П точки Л и Я, будут являться ее касательными. Из свойств полярного отображения следует, что для каждой точки М дуги s ее поляра т касается дуги о в такой N что поляра п точки N касается s в точке М; кроме того, из свойств поляр следует, что т_\_ОМ и nJOTV. Таким образом, касательная т дуги а в точке /У перпендикулярна кОМ и касательная п дуги s в точке М перпендикулярна к ON. Аналогичными свойствами обладает, очевидно, и дуга о получаемая полярным отображе­ нием П из дуги 8 . Оставив теперь без изменения дуги s и s кривой Г, за­ меним дуги АВ и А В дугами а' и о . получаемыми из о и o поворотом на 90° вокруг точки О. Полученная таким образом кривая S будет, очевидно, служить единичной окружностью геометрии Минковского—Банаха, в кото­ рой отношение перпендикулярности прямых симметрично. Можно доказать, что получаемыми таким образом кривыми 5 (эти кри­ вые впервые были построены австрийским математиком И. Р а д о н о м ) в определенном смысле исчерпываются в с е «единичные окружности» плоских геометрий Минковского — Банаха с симметричным от­ ношением перпендикулярности *). В частно­ сти, если линия Г совпадает с окружностью 2, то и S будет обыкновенной окружностью. 7.2. Число я в геометрии Минков­ ского — Банаха. Выясним, в каких пре­ делах может заключаться длина единичной окружности S геометрии Минковского—Ба­ наха; если обозначить эту длину через 2я, то наша задача сведется к оценке числа я. Периметр любой выпуклой фигуры определя­ ется в геометрии Минковского—Банаха в точности так же, как и в евклидовой геометр дд рии (см. стр. 228 и след. этой книги ЭЭМ). Отсюда вытекает, что периметр выпуклой фигуры обладает в этой геометрии многими свойствами обычного периметра; в частности, если выпуклая фигура F содержит внутри себя выпуклую фигуру G, то периметр фигуры F не меньше периметра фигуры д. Докажем, что t 1( г t 1 г t и с в Пусть А—произвольная точка единичной окружности 5 с центром О, А —диаметрально противоположная ей точка окружности 5 (рис. 99). При непрерывном обносе вектора АО вдоль кривой S, при котором ко­ нец А этого вектора описывает дугу AA его конец О опишет некоторую непрерывную линию, начинающуюся в точке О (т. е. внутри S!) и закан­ чивающуюся в такой точке О , что А О = АО=ОА (вне S\). Поэтому найдется такое положение ВС этого вектора, при котором и его начало В и его конец С будут принадлежать окружности S. Так как четырехугольники О ABC и ОА СВ — параллелограммы, то АВ#ОС ВС#АО и СА -#В0 т. е. р(Л,В) = р(В,С) = р ( С , Л ) = 1 . Отсюда вытекает, что периметр централь­ но-симметричного выпуклого шестиугольника ABCA B C вписанного в единичную окружность 5, в геометрии Минковского—Банаха равен 6; поэто­ му периметр 2л окружности S не может быть меньше 6 и, значит, л ^ З . г lt х г г х х ш х 9 1 x x Xt ') Точнее, все такие «единичные окружности» исчерпываются описанны­ ми кривыми 5 и их а ф ф и н н ы м и о б р а з а м и .