* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
467
Обратно, пусть нам известно, что круг К выпуклый. Рассмотрим произвольные три точки А, В и С плоскости Минковского — Банаха. Если эти точки принадлежат одной прямой, то неравенство треу гольника выполняется, поскольку оно выполняется для евклидовой плоскости, а длины отрезков одной прямой измеряются у нас так же, как и в евкли довой плоскости. Остается рассмотреть случай, когда точки А, В и С не принад лежат одной прямой (рис. 95). Отложим от точки А такой отрезок AD\\BC, что p(i4,D) = p(i4,B) = p, и построим круг АГ с центром А и радиусом р (т. е. множество таких точек iW, что р (А, М) ^ р). Посколь ку этот круг (подобный единичному кругу Рис. 95. А нашей геометрии или равный ему) вы Г пуклый, то весь отрезок BD принадлежит кругу KQ\ В частности, ему принадлежит точка Е пересечения отрезков АС и BD, т. е. р(А Е)^р. А теперь, в точности так же как и прн доказательстве первой части теоремы, имеем: р(В, С) р(В. С ) ^ р ( £ . С) р(Л.В) p(A.D) р(А, Е)
0 9 =
и, следовательно, в силу соотношения р (А, В) = р ^ р (А, Е) р ( Е , С ) ^ р ( В , С) и
9
р И , С) = р (А, Е) + р (£, С) < р И , В) + р (в, С), что и требовалось доказать. Все геометрические свойства плоскости Минковского — Банаха пол ностью определяются выпуклой фигурой ЛГ- Так, прямая .а, пересекаю щая прямую b в точке Р , называется перпендикулярной к этой прямой (в смысле геометрии Минковского — Ба наха), если для каждой точки А прямой а точка Р является б л и ж а й ш е й к ней точкой прямой b (рис. 96). Приняв точку О прямой а, для которой р (О, Р)= 1, за центр единичного круга АГ, мы обнаружим, что вся прямая b расположена вне К (ибо для каждой Рис. 96. точки В этой прямой р (О, В) ^ 1); поэтому прямая b является о п о р н о й для круга К в точке Р (см. стр. 187 этой книги ЭЭМ). Этот факт позволяет сформулиро вать определение перпендикулярности с помощью круга АГ: прямая а перпендикулярна к b (а _\_Ь), если прямая b \\Ь является опорной
1
