* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

466 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ Условие 1) очевидным образом выполняется для нашей геометрии, если только точка О лежит в н у т р и (не на границе) замкнутой кривой S. Условие 2) также имеет здесь место (именно для того, чтобы удовлетворить ему, мы и требовали, чтобы единичная окруж­ ность была центрально-симметричной кривой с центром О). Таким образом, остается только выяснить, в каком случае имеет место условие 3). Мы утверждаем, что определенная с помощью единичной окружности S метри­ ка в том и только в том случае удовлет­ воряет неравенству треугольника, если ограниченный «окружностью» S «единич­ ный кругъ К является выпуклой фигурой (см. в этой книге ЗЭМ статью «Выпуклые фигуры и тела»), В самом деле, предполо­ жим сначала, что определенная указан­ ным образом метрика р (А, В) удовлетво­ Рис. 94. ряет неравенству треугольника. Пусть А и В—две точки единичного круга АГ, т. е. пусть р ( 0 , ^ 4 ) ^ 1 и р (О, В) 1; для определенности положим еще, что р (О, А) ^ р (О, В). Докажем, что и каждая точка С отрезка АВ принадлежит кругу К] это и означает, что круг К—выпуклый. Проведем через точку А прямую AD\\OB ДО пересечения с прямой ОС в точке D (рис. 94). Так как отрезки AD и ОВ параллельны, то они измеряются с p(A,D) AD помощью одной единицы длины; поэтому р | о В) ~ОВ' ' р(С, D) CD AD CD . кроме того, очевидно, Q=Qg ~QB OC ( У подобия треу­ гольников ACD и ВСО), то получаем: р(Л, D) p(C, D) 9(0. В) 9(0. С)' А = т а к к а к и = В С И Л = Поскольку мы предположили, что р ( 0 , В) p{A D) р(С, D) р ( 0 . А ) ^ р ( 0 , С)' t Р (О, А), то Из этого, в силу неравенства треугольника, получаем: р(0, Р ) ^ р ( 0 , Л) + р ( Л , Р ) _ . , Р ( Л . Р ) ^ | | Р ( С D) р(0,А)^ р (О, А) " *"р<0, А)^ ^~р(0. С)1в 9(0. С) + р(С, Р ) _ р ( 0 . D) 9(0, С) р (О, С) * откуда и вытекает, что 9(0, С)^р(0, Л)<1, т. е. что точка С заключается внутри круга К*