* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
465
сферы трехмерного евклидова пространства, в случае пространства Римана дополненной множеством пар диаметрально противополож ных точек этой сферы. § 7. Некоторые другие геометрические системы 7.1. Геометрия Минковского — Банаха. Неевклидовыми гео метриями Кэли — Клейна далеко не исчерпываются известные гео метрам «ие евклидовы-) (т. е. отличные от евклидова) пространства. Здесь мы остановимся на одной схеме, развитой тем же немецким математиком Г. М и н к о в с к и м, который впервые пришел к идее о псевдоевклидовой геометрии. Впоследствии эта геометрическая схема была широко обобщена польским математиком С. Б а н а х о м , в связи с чем соответствующие пространства можно называть пространствами Минковского — Банаха. Условимся считать, что вдоль любой прямой евклидовой плоско сти или пространства расстояния измеряются так же, как и в случае евклидовой геометрии, с тем, однако, изменением, что единица длины различна для прямых разных направлений (но одинакова для параллельных прямых!). Отложив от фиксированной точки О во всех направлениях отрезки единичной длины, мы получим некоторую замкнутую кривую (или поверхность) — единичную окруж ность (или сферу) геометрии Минков ского— Банаха. В дальнейшем мы, главным образом, будем говорить о геометрии на п л о с к о с т и , опре деляемой заданием единичной окруж ности S. Так как в направлении луча Оа и его продолжения Оа за точку О единица измерения длин будет одна и та же, то каждая хорда АЛ единичной окружности^, про ходящая через точку О, делится в этой точке пополам (рис. 93). Таким образом, точка О является ц е н т р о м с и м м е т р и и еди ничной окружности S. От расстояния р (А, В) между двумя точками А и В любого пространства обычно требуют выполнения следующих свойств: 1) p(i4, £ ) ^ г 0 и р(-4, В) = 0 лишь в том случае, если точка В совпадает с А; 2) для любых двух точек А и В должно иметь место равенство р (А, В) = р (В, А) ( с и м м е т р и ч н о с т ь ) ; 3) для любых трех точек Й, Д С должно иметь место неравенство р (А, В) + р (В, С) > р (Л, С) ( н е р а в е н с т в о т р е у г о л ь н и к а ) .
х Л