* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

464 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ тем, что от одной интерпретации легко перейти к другой. Рас­ смотрим проектирование сферы евклидова пространства и сферы мнимого радиуса псевдоевклидова пространства из их точки 5 на плоскость а и из центра О на плоскость ос' (рис. 91). В первом случае точка М сферы спроектируется в точку N, во втором слу­ чае— в точку Так как центральный угол О'ОМ и вписанный угол O'SM опираются на одну и ту же дугу О'М, то первый из этих углов в два раза больше второго (теорема об этих углах имеет место и в псевдоевклидовом пространстве). Поэтому если мы со­ вместим плоскости aw а параллельным переносом в толь прямой ОО', при котором точка О созпадает с О' ос' точкой О', то луч SM совпадает с лучом ОМ\ где ЛГ — середина (неевклидова) отрезка 0'М\ поэто­ а) ОС му точка N, изображающая точку М неевклидовой плоскости в модели Пуанкаре (на плоскости а), будет г к. О* //N О ос 0 а) Рис. 90. б) Рис. 91. s изображать в модели Кэли —Клейна (на плоскости а ' ) середину отрезка О'М. Таким образом, если изменить модель Бельтрами— Клейна неевклидовой пло­ скости Лобачевского или Римана, заменив точку М этой модели неевклидовой серединой М' отрезка ОМ, то евклидовы прямые, изо­ бражающие прямые линии неевклидовой плоскости, перейдут в окружности ' (рис. 92, а,б) и модель КлейРис. 92. на —в модель Пуанкаре. Аналогичные модели Пу­ анкаре могут быть построены для трехмерных и /z-мериых неевкли­ довых геометрий. В частности, трехмерные пространства Римана и Лобачевского изображаются в моделях Пуанкаре внутренней областью а