* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 463 наконец, расходящиеся прямые изображаются диаметром и дугой окружности или двумя дугами окружностей, не имеющими общих -точек. На рис. 88 изображены пересекающиеся прямые а и Ь, параллельные прямые b \\ с \\ расходящиеся прямые cad. Так как окружности, эквидистанты и орициклы плоскости Лоба­ чевского соответствуют окружностям сферы мнимого радиуса, высекаемым из нее плос­ костями, не проходящими через ее центр, то в модели Пуанкаре они изображаются хор­ дами круга или дугами окружностей в нем. При этом окружности изображаются окруж­ ностями, расположенными внутри круга, орициклы — окружностями, касающимися окружности о>, а эквидистанты — хордами круга или дугами окружностей, пересека­ Рис. 88. ющих окружность о) .не под прямым углом. На рис. 89 изображена окружность а , орицикл (3 и эквидистанта у. Можно показать, что расстояние р (А, В) между точками А и В плоскости Лобачевского на модели Пуанкаре выражается через двойное отношение /У, АВ точек А и В и точек / и J пересечения окружности, изображающей прямую АВ, с окружностью ю по формуле (53) Движения плоскостей Римана и Лобачевского изображаются в моделях Пуанкаре круговыми преобразо­ ваниями (см. кн. IV ЭЭМ, стр. 62 и 478). Самым замечательным свойством стере­ ографической проекции и аналогичной про­ екции сферы мнимого радиуса на плоскость является то, что углы между линиями в этих проекциях всегда изображаются без искажения. Поэтому при изображении тре­ угольников в моделях Пуанкаре плоскостей Римана и Лобачевского суммы углов полу­ Рис. 89. ченных треугольников, состоящих из дуг окружностей или отрезков диаметров, будут в первом случае больше, а во втором — меньше 180°, что наглядно видно на рис. 90, где для сравнения изображены прямолинейные треугольники с теми же вершинами. Аналогия между формулой (50) для модели Бельтрами — Клейна и формулой (53) для модели Пуанкаре плоскости Лобачевского и аналогичными формулами для плоскости Римана, получающимися из формул (50) и (53) заменой q на ^ , не случайна и объясняется р ( Д B)=qlnU, АВ.